Permutacje i reguła mnożenia - scenariusz lekcji matematyki w klasie III

Scenariusz otwartej lekcji matematyki przeprowadzonej w klasie III b LP w dniu 3 listopada 2005 roku

Prowadzący : RENATA BEDNARCZYK

Cele lekcji :
-wprowadzenie pojęcia permutacja oraz wzoru na obliczanie permutacji ,
-wprowadzenie reguły mnożenia i uświadomienie młodzieży , że najważniejszą rzeczą w nauczaniu rachunku prawdopodobieństwa jest zdrowy rozsądek i logiczne myślenie (niekoniecznie znajomość wzorów)
-nauka samodzielnego rozwiązywania problemów

Cele szczegółowe:
Uczeń po tej lekcji powinien potrafić:
-obliczać permutacje różnych zbiorów stosując wzór lub regułę mnożenia
-stosować regułę mnożenia w zadaniach na wybór skończenie wielu decyzji
-stosować symbol n .

Metoda pracy:
-rozmowa dydaktyczna.

Formy pracy:
-praca całą klasą , praca samodzielna lub w 2-osobowych grupach .

Środki dydaktyczne:
Podręcznik do matematyki , zeszyt , kalkulator ,materiały pomocnicze w postaci załączników

Przebieg lekcji:
1. Faza wprowadzająca:
a) powtórzenie wzoru n!;
sprawdzenie zadania domowego - jeden z uczniów odpowiada na zadane pytania przy tablicy. Pokazuje do sprawdzenia zeszyt z zadaniem domowym.
b ) Prezentacja problemu lekcji w postaci historyjki – zał. 1
W czasie odpowiedzi nauczyciel sprawdza zadanie domowe.
Podaje temat lekcji i czyta historyjkę wprowadzającą zagadnienie do dalszych rozważań

2. Faza realizacyjna:

Prezentacja możliwych ustawień zbioru 3- elementowego ABC przy pomocy drzewa .
Wprowadzenie definicji permutacji
Obliczenie liczby możliwych ustawień zbioru 3-elementowego i 4-elementowego .
Wprowadzenie wzoru na liczbę permutacji zbioru n-elementowego Pn
Prezentacja reguły mnożenia na podstawie zad. 1
Wprowadzenie reguły „mnożyć czy dodawać „ na podstawie zad. 2

Uczniowie wykonują polecone do rozwiązania problemy , w razie potrzeby korzystając z pomocy nauczyciela . Próbują formułować definicje i wprowadzać wzory .

Nauczyciel prezentuje kolejne problemy do dyskusji i do wspólnego rozwiązania przez uczniów. Udziela wskazówek i wspólnie z uczniami formułuje definicje i buduje potrzebne wzory.
Stymuluje pracę uczniów wszędzie tam , gdzie jest taka potrzeba

3. Faza ćwiczeniowa:

Rozdanie uczniom zadań do rozwiązania samodzielnego lub w 2- osobowych grupach. Prezentacja rozwiązań wybranych zadań . Wcześniej obliczenie zadania „Na ile sposobów można w klasie 19- osobowej rozdzielić 19 różnych zadań tak ,
a) aby każda osoba otrzymała inne zadanie
b) aby chłopcy otrzymali zadania spośród 6 pierwszych a dziewczęta spośród 12 pozostałych

Uczniowie najpierw wspólnie rozwiązują zadanie o ilości możliwych rozdań . Następnie uczniowie otrzymują do rozwiązania zadania , liczą je samodzielnie lub w 2-osobowych grupach i prezentują wybrane zadania. Ilość zaprezentowanych zadań zależy od czasu jaki będzie do dyspozycji

Nauczyciel rozdziela młodzieży zadania do rozwiązania – (zał.2) i w miarę potrzeb odpowiada na pytania i udziela wskazówek do rozwiązania . Kieruje tokiem rozumowania uczniów.

4. Faza podsumowująca:

Uczniowie stawiają pytania do lekcji. Zapisują zadanie domowe

Nauczyciel ocenia aktywność uczniów oraz podaje zadanie domowe: 14 a g
Zad 3 oraz zadanie „ Z życia dr Przypadka”

Zał.1.
Julian Tuwim w jednym ze swoich felietonów matematycznych opisuje następującą historyjkę.
Czternaście osób jadało codziennie obiady przy podłużnym stole . Wszyscy zajmowali zawsze te same miejsca . Pewnego dnia siedzący na szarym końcu najmłodszy ze stołowników wystąpił z projektem , by miejsca zajmować za każdym razem inaczej , aż do wyczerpania wszystkich możliwości . Po obiedzie starszy pan , nauczyciel matematyki w gimnazjum , zaprosił młodego człowieka na kawę .

„ – Więc pan chciałby przesadzać czternaście osób , co dzień w innej kolejności , aż do wyczerpania wszystkich możliwych kombinacji , czy tak ?
- Tak jest , proszę pana .
- I co pan sądzi , jak to długo będzie trwało , aż pan te wszystkie możliwe kombinacje wyczerpie ?
- No , nie wiem ... może nawet parę tygodni ... ale musi być sprawiedliwość .
- Owszem , musi być – odrzekł fundator kawy i zaczął coś obliczać ołówkiem na marmurze stolika . Po paru minutach powiedział :
- Ale będzie to , panie drogi , trwało – niech pan słucha :
Dwieście trzydzieści osiem milionów osiemset czterdzieści cztery tysiące sześćset trzydzieści trzy lata .
Osłupiałem myśląc , że mam do czynienia z wariatem .”

Zad . 1 Na ile sposobów można rozdzielić 4 role pomiędzy czterech aktorów A , B , C , D

Zad . 2 . Na ile sposobów można rozdzielić 3 role męskie oraz 2 kobiece pomiędzy aktorów A , B , C i aktorki L , M ?

Zad 3 .
Dziewczyna zamierza włożyć albo bluzkę żółtą albo jedną z dwu niebieskich oraz spódniczkę jedną z trzech żółtych albo dwóch niebieskich . Na ile sposobów może się ubrać , gdy chce , aby spódnica i bluzka były w tym samym kolorze ?

Zadanie z życia dr Przypadka

- Kobieta powinna mieć tyle strojów , aby móc codziennie ubierać się inaczej – westchnęła pani Przypadkowa .
- To żaden problem – odparł dr Przypadek – wystarczą 3 sukienki , 4 kapelusiki i 5 par butów .
- To daje tylko 75 możliwości – obliczyła błyskawicznie pani Przypadkowa .
- Ależ skądże ! Aż 390 – poprawił dr Przypadek .
Skąd te wyniki ? Wykaż , że dr Przypadek jest z lekka ekstrawagancki ale dość ludzki .

Zał.2

Zad.1 Ogrodnik chce zasadzić róże na 4 klombach . Iloma sposobami może to zrobić , jeżeli ma do dyspozycji 4 odmiany róż i na każdym klombie posadzi inny gatunek róż?

Zad.2 Na ile sposobów można posadzić na ławce 5 koleżanek , tak aby
a) siedziały obok siebie w dowolnej kolejności ,
b) dwie koleżanki Krysia i Iza siedziały obok siebie ?

zad .3. Na ile sposobów można posadzić na ławce 5 koleżanek , tak aby
a) siedziały obok siebie w dowolnej kolejności
b) między Izą a Krysią siedziały dwie koleżanki ?

zad . 4 Na ile sposobów można obuć stonogę mając 50 par różnych butów odpowiedniego rozmiaru ? Przyjmujemy , że stonoga odróżnia tylko buty lewe od prawych .

zad . 5. Pewną pracę należy podzielić pomiędzy 3 dziewczęta , 4 chłopców i 5 mężczyzn . Na ile sposobów można to uczynić , przy założeniu , że mamy 3 stanowiska pracy dla dziewcząt , 4 dla chłopców i 5 dla mężczyzn?

Zad . 6. W ostatnim etapie Konkursu Chopinowskiego jury decyduje o kolejności 6 finalistów . Przyjmijmy , że jeden z finalistów może ponadto dostać nagrodę za najlepsze wykonanie mazurków . Ile jest możliwych rozstrzygnięć finału przy założeniu , że nie ma miejsc ex aequo ?

Zad . 7. „Milion zestawów obiadowych „ –głosi reklama pewnej restauracji . Naprawdę jest tam tylko 10 przystawek , 12 zup , 20 drugich dań , 20 deserów i 25 gatunków win . Czy masz prawo czuć się oszukany ?

Zad . 8. Dwie drużyny rozgrywają ze sobą mecz piłkarski . Ile jest możliwych wyników , jeżeli wiadomo , że każda z drużyn strzeliła co najwyżej 3 bramki ?

Zad . 9.Na półce stoi 7 tomów , wśród nich 3 tomowe wydanie „Historii Matematyki” . Na ile sposobów można ułożyć te książki tak aby te trzy tomy stały obok siebie ?
-nie stały obok siebie?

Zad . 10. Na ile sposobów można ustawić w kolejce trójkę dziewcząt i trójkę chłopców tak , aby dziewczęta i chłopcy stali na przemian ?

Zad . 11. Wśród 6 osób są Adam i Ewa . NA ile sposobów można posadzić te osoby na podłużnej ławce tak , aby :
a) Adam siedział obok Ewy
b) Adam nie siedział obok Ewy?

Zad . 12. Na ile sposobów można ułożyć plan lekcji na dany dzień jeżeli najpierw mają być 3 ustalone przedmioty ścisłe a potem 4 ustalone przedmioty humanistyczne ?

Zad .13. Na ile sposobów można włożyć 3 różne listy do trzech różnych kopert , po jednej do każdej koperty ?

Zad .14. Jeden bar oferuje 5 zup i 10 drugich dań , drugi – 6 zup i 8 drugich dań . Ile różnych obiadów dwudaniowych masz do wyboru , jeżeli decydujesz się zjeść obiad w jednym z tych barów ?

Zad .15. Drogę od A do B można przejść na 2 sposoby , od B do C na 3 sposoby . Na ile sposobów można przejść od A do C i z powrotem ?

Zad . 16 Na ile sposobów można posadzić 8 osób przy okrągłym stole ? Dwa sposoby uważamy za różne , jeśli przynajmniej jedna z osób ma innego sąsiada po lewej lub po prawej stronie .

Zad . 17. Goniec ma roznieść listy do 7 różnych instytucji. Iloma różnymi trasami może roznieść te listy?

Zad .18. Ile różnych liczb 5 cyfrowych o niepowtarzających się cyfrach można utworzyć z cyfr : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ?

Zad . 19. Grupa składa się z 4 dziewcząt i z 4 chłopców . Na ile sposobów można utworzyć z nich 4 pary taneczne?