Ciągi - katalog wymagań testu pomiaru dydaktycznego

KATALOG WYMAGAŃ DO DZIAŁU „CIĄGI”

(KLASA II LO i Technikum)

(zakres podstawowy i rozszerzony)

CZYNNOŚCI UCZNIA:

WYMAGANIA NA OCENĘ: DOPUSZCZAJĄCĄ (KONIECZNE):

1. Zna definicję ciągu liczbowego. (A)
2. Definiuje ciąg rosnący, malejący, stały. (A)
3. Podaje przykłady (wypisuje kolejne wyrazy; słownie):ciągu liczbowego (nieskończonego; skończonego), ciągu rosnącego, malejącego, stałego, niemonotonicznego. (B)
4. Rozpoznaje, na podstawie wykresu ciągu jego monotoniczność. (A)
5. Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu określonego wzorem ogólnym (proste przykłady). (C)
6. Rysuje wykres ciągu (rosnącego, malejącego, stałego, arytmetycznego, geometrycznego,naprzemiennego, zbieżnego) na podstawie wzoru ogólnego ciągu albo przez podanie własnego przykładu ciągu.(C)
7. Odczytuje z wykresu własności ciągu. (B)
8. Oblicza kolejne i dowolne wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. (C)
9. Wyznacza wyrazy ciągu opisanego słownie. (C)
10.Zna definicję ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (A)
11.Sprawdza, czy ciąg o danych wyrazach jest arytmetyczny (geometryczny). (C)
12.Podaje przykłady ciągu: arytmetycznego i geometrycznego (wypisuje kolejne wyrazy, rysuje wykres, opisuje słownie). (B)
13.Wyznacza wyrazy ciągu arytmetycznego, znając pierwszy wyraz (a1) i różnicę (r). (C)
14.Wyznacza wyrazy ciągu geometrycznego, znając pierwszy wyraz (a1) i iloraz (q). (C)
15.Zna wzór na n–ty wyraz (an) ciągu arytmetycznego (geometrycznego).(A)
16.Oblicza n–ty wyraz ciągu arytmetycznego (geometrycznego), znając a1 i r (a1 i q). (C)
17.Zna wzór na sumę częściową Sn ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (A)
18.Oblicza sumę częściową Sn ciągu arytmetycznego (geometrycznego.(C)
19.Wie dla jakiego r ciąg arytmetyczny jest rosnący, malejący, stały. (A)
20.Podaje takie a1 i r, aby ciąg arytmetyczny był rosnący,malejący, stały. (B)
21.Wyznacza a1,r,n lub an (a1,q,n lub an) mając dane trzy z nich.(C)
22.Rozwiązuje proste zadania, w których zauważa, że dane wielkości tworzą ciąg arytmetyczny (geometryczny). (C)
23.Stosuje procent prosty i składany w prostych zadaniach dotyczących oprocentowania lokat i kredytów (np.: rozumie ideę funkcjonowania banku, oblicza zysk z lokaty przy rocznej kapitalizacji odsetek i danej, stałej stopie procentowej). (C)
24.*Rozumie pojęcie ciągu zbieżnego do zera. (B)
25.*Wie, kiedy ciąg geometryczny jest zbieżny do zera. (A)
26.*Podaje przykład ciągu zbieżnego do zera. (B)
27.*Odczytuje z rysunku granice ciągów (proste przykłady). (B)
28.*Oblicza granice ciągów: właściwe i niewłaściwe (proste przykłady). (C)
29.Zna pojęcie ułamka dziesiętnego okresowego. (A)
30.*Zna wzór na sumę szeregu geometrycznego. (A)
31.*Oblicza sumę szeregu geometrycznego. (C)

WYMAGANIA NA OCENĘ DOSTATECZNĄ (PODSTAWOWE):

1. Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu określonego wzorem ogólnym albo słownie. (C)
2. Określa ciąg (ogólnym wyrazem lub słownie), mając dane kolejne początkowe wyrazy ciągu. (C)
3. Bada, które wyrazy ciągu, określonego wzorem ogólnym an, są równe danej liczbie (rozwiązuje odpowiednie równanie). (C)
4. Określa własności zadanego ciągu. (C)
5. Sprawdza, czy ciąg o danych wyrazach jest arytmetyczny (geometryczny). (C)
6. Bada, na podstawie definicji, czy ciąg o wyrazie ogólnym an jest arytmetyczny (geometryczny). (C)
7. Wyznacza a1 i r (a1 i q) znając dwa dowolne wyrazy ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (C)
8. Rozpoznaje ciągi geometryczne na podstawie wzoru. (A)
9. Wie dla jakich a1 i q ciąg geometryczny jest rosnący, malejący, stały, naprzemienny. (A)
10.Podaje takie a1 i q, aby ciąg geometryczny był rosnący, malejący, stały. (B)
11.Oblicza wyraz środkowy ciągu arytmetycznego (geometrycznego), wykorzystując średnią arytmetyczną (geometryczną). (C)
12.Wyznacza a1,r,n,an,Sn (a1,q,n,an,Sn) mając dane trzy z nich. (C)
13.Rozwiązuje proste zadania dotyczące ciągu arytmetycznego i geometrycznego, (C)
np.:
a) oblicza sumę liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez daną liczbę dają odpowiednią resztę,
b) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych nieparzystych dwucyfrowych,
c) oblicza sumę danych liczb naturalnych nieparzystych nie większych od 10000,
d) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych,
e) oblicza sumę wszystkich naturalnych potęg liczby 2 mniejszych od 1000.
14. Rozwiązuje proste zadania tekstowe z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (C)
15. Rozwiązuje zadania z życia codziennego, w których zauważa, że dane wielkości tworzą ciąg arytmetyczny (geometryczny). (C)
16. Stosuje procent prosty i składany w zadaniach dotyczących oprocentowania lokat i kredytów (oblicza np.: zyski z lokaty na podstawie informacji o oprocentowaniu i okresach kapitalizacji odsetek; liczbę lat oszczędzania; wkład początkowy). (C)
17.*Rozumie intuicyjnie pojęcie granicy skończonej ciągu (pojęcie ciągu zbieżnego). (B)
18.*Ilustruje graficznie pojęcie granicy skończonej ciągu. (B)
19.*Przedstawia interpretację geometryczną ciągu dążącego do ∞ (-∞). (B)
20.*Zna twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych. (A)
21.*Stosuje twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych. (C)
22.*Oblicza granice ciągów: właściwe i niewłaściwe (proste przykłady). (C)
23.*Odróżnia ciąg geometryczny od szeregu geometrycznego. (B)
24.*Zna warunek istnienia sumy nieskończonego ciągu geometrycznego (warunek zbieżności szeregu geometrycznego). (A)
25.*Wyznacza warunek zbieżności szeregu geometrycznego (rozwiązuje prostą nierówność z wartością bezwzględną). (C)
26.*Stosuje pojęcie szeregu geometrycznego do zamiany ułamka dziesiętnego okresowego na ułamek zwykły. (C)
27.*Oblicza wielkości S,a1 lub q mając dane dwie z nich. (C)
28.Rozwiązuje proste równania i nierówności, w których: (C)
a) lewa strona jest sumą skończonego ciągu arytmetycznego,
b)*lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

WYMAGANIA NA OCENĘ DOBRĄ (ROZSZERZAJĄCE):

1. Wyznacza wzór ogólny ciągu, mając dane kolejne początkowe wyrazy ciągu. (C)
2.*Oblicza kolejne wyrazy ciągu na podstawie wzoru rekurencyjnego. (C)
3.*Znajduje wzór ogólny ciągu rekurencyjnego (proste przykłady).(C)
4. Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu (liczbowego, arytmetycznego, geometrycznego) określonego wzorem ogólnym (trudniejsze przykłady). (C)
5. Sprawdza monotoniczność ciągu przez badanie ilorazu an+1/an. (C)
6. Bada własności ciągu. (C)
7. Definiuje ciąg nierosnący, niemalejący. (A)
8. Rozumie pojęcie ciągu nierosnącego, niemalejącego. (B)
9. Bada, które wyrazy ciągu, określonego wzorem ogólnym an są mniejsze (większe, itp.) od danej liczby (rozwiązuje odpowiednią nierówność). (C)
10.Sprawdza, które wyrazy ciągu należą do danego przedziału. (C)
11.Bada, które wyrazy ciągu, określonego wzorem ogólnym an, są liczbami naturalnymi (całkowitymi) i wyznacza te wyrazy. (C)
12.Wyznacza wzór na an, mając dany wzór na Sn dowolnego ciągu. (C)
13.Zapisuje wzorem definicję ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (B)
14.Bada, na podstawie definicji, czy ciąg o wyrazie ogólnym an jest arytmetyczny (geometryczny). (C)
15.Wyprowadza wzór na an w ciągu arytmetycznym i geometrycznym. (D)
16.Rozwiązuje zadania dotyczące ciągu arytmetycznego i geometrycznego, (C)
np.:
a) oblicza sumę liczb naturalnych trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez daną liczbę dają odpowiednią resztę,
b) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych,
c) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych.
17.Rozwiązuje trudniejsze zadania tekstowe z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (C)
18.Dostrzega ciągi arytmetyczne i geometryczne w otaczającej rzeczywistości. (D)
19.Wyznacza ciąg arytmetyczny (geometryczny) na podstawie podanych danych. (C)
20.*Rozumie pojęcie granicy skończonej ciągu (pojęcie ciągu zbieżnego). (B)
21.*Rozumie pojęcie ciągu rozbieżnego. (B)
22.*Oblicza granice ciągów (właściwe i niewłaściwe), stosując odpowiednie twierdzenia o granicach ciągów. (C)
23.*Bada warunek istnienia sumy szeregu geometrycznego (rozwiązuje odpowiednią nierówność). (C)
24.Rozwiązuje równania i nierówności, w których: (C)
a) lewa strona jest sumą skończoną ciągu arytmetycznego,
b)*lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
25.Odkrywa monotoniczność ciągu arytmetycznego (geometrycznego).(D)
26.*Odkrywa warunek zbieżności szeregu geometrycznego. (D)
27.Rozstrzyga, czy istnieją ciągi spełniające zadane warunki. (D)
28.Rozwiązuje zadania stosując wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (geometrycznego), również umieszczone w kontekście praktycznym. (C)
29.Rozwiązuje zadania łączące wiadomości o ciągach: arytmetycznym i geometrycznym. (C)
30.Stosuje wiadomości o ciągach w zadaniach geometrycznych. (D)
31.Rozwiązuje trudniejsze zadania dotyczące procentu składanego (np.: oblicza wysokość oprocentowania lokaty w skali roku przy danej kapitalizacji odsetek; wysokość raty kredytu, łączną wartość odsetek od tego kredytu; porównuje zyski z lokat). (C)

WYMAGANIA NA OCENĘ BARDZO DOBRĄ (DOPEŁNIAJĄCE):

1. Określa ciąg rekurencyjnie. (C)
2. Wyznacza wyraz ogólny ciągu, mając dane kolejne początkowe wyrazy tego ciągu, *opis rekurencyjny ciągu albo wykres ciągu. (C)
3.*Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu. (C)
4.*Rozstrzyga, czy istnieją ciągi spełniające zadane warunki. (D)
5. Podaje przykład ciągu spełniającego zadane warunki. (D)
6. Znajduje wzór ciągu arytmetycznego (geometrycznego) na podstawie podanych informacji. (C)
7. Rozwiązuje zadania tekstowe łączące jednocześnie wiadomości o ciągu arytmetycznym i geometrycznym. (D)
8. Stosuje wiadomości o ciągach w zadaniach geometrycznych. (D)
9. Korzystając z własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego), bada zjawiska opisane przez taki ciąg. (D)
10.Wyprowadza wzór na Sn w ciągu arytmetycznym i geometrycznym. (D)
11.*Zna definicję granicy skończonej ciągu. (A)
12.*Zna definicję granicy niewłaściwej ciągu. (A)
13.*Zapisuje symbolicznie (kwantyfikatorowo) definicję granicy ciągu (zbieżnego i rozbieżnego do ∞ (-∞)). (A)
14.*Podaje przykłady ciągów zbieżnych i rozbieżnych (podając wzór ogólny). (B)
15.*Przytacza twierdzenia pozwalające obliczać granice ciągów. (A)
16.*Dowodzi twierdzenia o granicach ciągów. (D)
17.*Oblicza trudniejsze granice ciągów (np. z zastosowaniem wzorów na sumę częściową ciągu arytmetycznego lub geometrycznego). (C)
18.*Bada istnienie granicy ciągu (właściwej, niewłaściwej) w zależności od wartości parametru (i oblicza tę granicę). (D)
19.*Definiuje szereg geometryczny. (A)
20.*Stosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego w zadaniach geometrycznych i innych. (C)
21.Rozwiązuje trudniejsze zadania dotyczące procentu składanego (np.: oblicza wysokości rat malejących; porównuje różne sposoby spłacania kredytu); dostrzega związek wzoru na procent składany z ciągiem geometrycznym. (C)
22.Rozwiązuje różne zadania z parametrem z ciągów. (D)

WYMAGANIA NA OCENĘ CELUJĄCĄ (WYKRACZAJĄCE):

1. Bada monotoniczność ciągu rekurencyjnego. (C)
2. Bada zbieżność ciągu rekurencyjnego. (C)
3. Zna twierdzenie o trzech ciągach do obliczenia granicy danego ciągu. (A)
4. Rozumie twierdzenie o trzech ciągach. (B)
5. Oblicza granice ciągów stosując twierdzenie o trzech ciągach.(C)
6. Zna definicję liczby e. (A)
7. Wyznacza liczbę e jako granicę ciągu. (D)
8. Oblicza granice ciągów korzystając z definicji liczby e. (C)
9.*Rozstrzyga, czy istnieją ciągi spełniające zadane warunki. (D)
10.Wykazuje, na podstawie definicji granicy ciągu, że dana liczba jest granicą ciągu. (D)
11.Wykazuje, z definicji, że ciąg jest rozbieżny do ∞ (-∞). (D)
12.Rozwiązuje zadania na dowodzenie dotyczące ciągów. (D)

Uwaga: gwiazdką (*) wyróżniono badane czynności z zakresu rozszerzonego.