Wykazałem, że zbiór funkcji f(x) = a:x + b:x z działaniem dodawania (+) stanowi grupę przemienną (abelową)

Badam rodzinę funkcji fa,b(x,y) = a:x + b:y wraz z działaniem dodawania i wykazuję, że system (fa,b , +) ma strukturę grupy przemiennej.
1. FUNKCJE u = f(x,y) = a:x + b:y .

Niech f : D ϶ (x,y) → u = f(x,y) = a:x + a:y , D ᴄ R2 , gdzie a Є R , b Є R.
Jeżeli a Є R i a = const, oraz b Є R i b = const, to przepis :

u = f(x,y) = a:x + b:y

opisuje dokładnie jedną funkcję dwu zmiennych x i y.
Jeżeli a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi , to przepis funkcyjny opisuje
dwuparametrową rodzinę funkcji.
Dziedziną funkcji f jest zbiór:
D(f) = D = {(x,y)Є R2 ; x ≠0 , y ≠ 0} .
Uwzględniając zbiory:
D1 = {(x,y) Є R2 ; x > 0 , y > 0} , D2 = {(x,y)Є R2 ; x < 0 , y > 0 } ,
D3 = {(x,y)Є R2 ; x < 0 , y > 0 } , D4 = {(x,y) Є R2 ; x > 0 , y < 0 }

Otrzymujemy: D = D1 ᴗ D2 ᴗ D3 ᴗ D4 .
2. Działania na funkcjach f(x,y) = a:x + b:y .

Niech będą dane funkcje
f(x,y) = a:x + b:y = ax- 1 + by- 1 dla (x,y) Є D=D1ᴗD2ᴗD3ᴗD4.
Możemy uwzględnić zbiór funkcji
F = {f:f(x,y) =ax-1+by-1 dla (x,y)Є D}.
Można zastosować oznaczenie: f(x,y) = ax-1 + by -1 ==== fa,b(x,y) .
Dla dowolnych funkcji : fa1,b1(x,y) = a1x -1 + by -1 Є F , fa2,b2(x,y) = a2x -1 + b2y -1 Є F ,
będzie fa1,b1(x,y) + fa2,b2(x,y) = (a1 x -1 + b1y -1 ) + ( a2x -1 + b2x -1) =
= (a1 + a2)x -1 + (b1 + b2)y -1 = fa1 + a2, b1 + b2(x,y) Є F . Zatem w zbiorze F można określić działanie dodawania : + : F x F ϶ (fa1,b1 ,fa2,b2)→fa1,b1 + fa2,b2 Є F .
fa1,b1(x,y) + fa2,b2(x,y) = fa1 + a2, b1 + b2(x,y) dla (x,y)Є D.

Twierdzenie 2.1
Dla każdych fai,bi Є F , i = 1 , 2 , 3
(fa1 , b1 + fa2 , b2) + fa3 , b3 = fa1 , b1 + (fa2 , b2 + fa3 , b3).

Dowód:

(fa1, b1 (x,y) + faa22 , b2 (x,y) +fa3 , b3 ( x,y) = (aqx -1 + b1y-1 + a2y -1 + b 2 y -1)+ a3x-1+ b3y-1 = a1x-1 + b1y-1+ +(awx-1 + b2y-1 + a3x-1 + b3y-1 )= fal , bl (x,y) + (fa2 , b2 (x,y) + fa3 , b3 (x,y) ) dla (x,y) Є D .

Twierdzenie 2.2
Dla każdej funkcji fa,b Є F istnieje funkcja f0,0 Є F taka, że :
fa,b + f0,0 = f0,0 + f a,b = fa,b
Dowód:
(1) fa,b (x,y) + f0,0 (x,y) = (ax-1 + by-1) + (0x-1 + 0y-1) = (a+0)-1 + (b+0)y-1 = ax-1 + by-1 = fa.b (x,y) dla (x,y) Є D
(2) f0,0 (x,y) + fa,b (x,y) = (0x-1 + 0y-1) +(ax-1 +by-1) = (0+a)x-1 + (0+b)y-1 = ax-1 + by-1 = fa,b (x,y) dla
(x, y) Є D.
Z (1) i (2) otrzymujemy fa,b + f0,0 = f0,0 + fa,b = fa,b dla (x,y) Є D.
Twierdzenie 2.3
Dla każdej funkcji fa,b Є F istnieje funkcja f-a,-bЄ F taka, że fa,b + f-a,-b = f0,0.
Dowód:
Niech fa,b (x,y) =ax-1 + by-1 Є F dla (x,y) Є D.
Weźmy pod uwagę : fc,d(x,y) = cx -1 + dy -1 Є F dla (x,y) Є D .
Przyjmując warunek fa,b(x,y) + fc,d(x,y) = f0,0 (x,y) dla (x,y)Є D,
otrzymujemy fa + c, b + d(x,y) = f0,0(x,y) dla (x,y) Є D
(a + c)x-1 + (b + d)y-1 = 0•x-1 + 0•y-1 dla (x,y)Є D ,
a stąd a + c = 0 i b + d = 0 dla (x,y)Є D,
oraz c = - a i d = - b.
Zatem dla fa,b Є F istnieje f- a , - b Є F .
Twierdzenie 2.4
Dla każdych funkcji fa1 , b1 Є F , fa2 , b2 Є F
fa 1, b1 + fa2 , b2 = fb2 , a2 + fa 1 , b1 .
Dowód:
fa1,b1(x,y) + fa2 , b2(x,y) = (a1x-1 + b1y-1) + (a2x-1 + b2y-1) = (a2x-1 + b2y-1) + (a1x-1 + b1y-1) =
= fa 2 , b2(x,y) + fa1 , b1(x,y) dla (x,y) Є D .
A więc fa1 , b1 + fa2 , b2 = fb2 , a2 + fa1 , b1 .
Uwzględniając zbiór funkcji F , z działaniem dodawania „ + „ , oraz własności sformułowane
w twierdzeniach Tw. 2.1 , Tw. 2.2 , Tw. 2.3 i Tw. 2.4 można stwierdzić, że zbiór funkcji F
z działaniem dodawania (F , + ) ma strukturę grupy przemiennej (abelowej).

Opracował: mgr Krzysztof Woźniacki ( nauczyciel z Jasła )