Geogebra w praktyce szkolnej

Dawid Młynarczyk

Geogebra w praktyce szkolnej.

Październik 2018 r.

Wstęp.

Użyteczność matematyki nabiera coraz większego znaczenia. Rozwój cywilizacyjny wymusza duże zapotrzebowanie na osoby z wykształceniem ścisłym. Funkcjonowanie we współczesnym świecie wymaga umiejętności stosowania matematyki w różnych sytuacjach od selekcji i analizy informacji po rozwiązywanie złożonych problemów. Wykształcenie matematyczne jest fundamentem wykształcenia i sprzyja zarówno karierze zawodowej jak i radzeniu sobie z problemami dnia powszedniego. Matematyka uczy takich metod postępowania i rozumowania, które mogą być przeniesione z sukcesem na wiele innych dziedzin życia. Królowa nauk niestety nie jest lubiana przez uczniów, a szkoda bo rozwija kreatywne myślenie uczy logiki i wyposaża w przydatne w życiu umiejętności. Badając i ankietując poziom zainteresowania uczniów matematyką, czy też poziom chęci uczenia się tego przedmiotu, z reguły z przerażeniem patrzy się na wyniki. Stąd pomysł na przełamywanie uczniowskiej niechęci do matematyki z wykorzystaniem dostępnych narzędzi, z którymi dzisiejsza młodzież obcuje na co dzień.
Powszechny dostęp do komputera, Internetu, smartfonów oraz aplikacji, które są narzędziami dostarczającymi różnych informacji, narzędziami pracy w biurze, w domu, w szkole, dają możliwość wykonania niektórych zadań szybciej i prościej dając wile satysfakcji. Wprowadzenie podstawowych metod pracy z komputerem na lekcjach matematyki pozwoli uczniom lepiej zrozumieć trudne zagadnienia i umożliwi swobodne poruszanie się we współczesnym świecie. Wykorzystany do tego program geogebra lepiej i dokładniej przedstawia wiele zagadnień matematycznych, umożliwiając lepsze jego zrozumienie i sprawdzenie swoich wyników.
Innowacyjne działania umożliwiają uczniom kształtowanie postaw sprzyjających kreatywności i rozbudzaniu chęci do podejmowania inicjatyw oraz wysiłku do pracy. Pomagają w rozwijaniu umiejętności formułowania i zadawania ciekawych, celowych pytań, samodzielności w poszukiwaniu rozwiązań, sprzyjają wielowymiarowym kreowaniu postawy twórczej opisywanej za pomocą: płynności, giętkości, oryginalności, staranności. 
Cele.

Głównym celem jest pobudzenie aktywności uczniów, rozbudzanie i rozwijanie ich indywidualnych zainteresowań, umiejętność organizowania nauki i samokontrola, wdrażanie do samodzielnego rozwiązywania problemów z wykorzystaniem różnych źródeł informacji. Podjęte przeze mnie działania mają wzbogacić i uatrakcyjnić proces dydaktyczny oraz kształcić umiejętności poszukiwania, porządkowania i wykorzystywania informacji do rozwiązywania problemów. Ważne jest również doskonalenie umiejętności planowania, organizowania i oceniania własnej nauki. Rozwijanie umiejętności prezentowania wyników swojej pracy. Głównym celem jest również popularyzowanie matematyki wśród uczniów i zachęcenie ich do podejmowania wysiłku w uczeniu oraz rozbudzanie motywacji do nauki tego przedmiotu wykorzystując dostępną technologię. Ale także chciałem uzyskać następujące cele:
wyposażenie uczniów w umiejętność wykorzystywania wiedzy matematycznej w praktyce,
rozwijanie zainteresowań i uzdolnień matematycznych i informatycznych, pogłębianie wiedzy z tych dziedzin oraz postawy dociekliwości;
wyrabianie systematyczności, pracowitości, wytrwałości poprzez prowadzenie samodzielnych obserwacji i badań, samodzielnej pracy nad rozwiązywaniem i tworzeniem zadań tekstowych oraz plansz interaktywnych i apletów,
rozwiązywanie problemów matematycznych w sposób twórczy i niekonwencjonalny,
rozwijanie umiejętności przewidywania i planowania, wyciągania wniosków,
uczenie dostrzegania prawidłowości matematycznych,
pobudzenie kreatywności i aktywności uczniów,
kształtowanie wyobraźni i myślenia abstrakcyjnego,
umiejętność prostego programowania,
uczenie przełamywania własnych zahamowań i promowania rezultatów własnej pracy, autoprezentacja,
ćwiczenie pilności, cierpliwości i wytrwałości,
pobudzanie optymizmu i motywacji do kolejnych działań, szukanie radości w pracy i nauce,
rozwijanie poczucia własnej wartości poprzez osiąganie sukcesów,

Wprowadzenie do GeoGebry.
(na podstawie podręcznika ,,Wprowadzenie do programu GeoGebra” dostępnego na stronie programu www.geogebra.org autorstwa Judith Hohenwarter, Markus Hohenwarter oraz przy wsparciu wielu osób zespołu programu GeoGebra).

Podstawowe wiadomości o GeoGebrze
GeoGebra jest programem dynamicznym, który łączy geometrię, algebrę i analizę matematyczną. GeoGebra jest interaktywnym systemem geometrycznym. Można w niej wykonywać konstrukcje posługując się punktami, wektorami, odcinkami, prostymi, krzywymi stożkowymi jak również wykresami funkcji, a w trakcie konstruowania, lub później wprowadzać zmiany dynamicznie. Z drugiej strony w GeoGebrze można bezpośrednio wprowadzać współrzędne punktów, równania krzywych i wzory funkcji. Można posługiwać się zmiennymi liczbowymi, wektorowymi i punktowymi. Można wyznaczać pochodne i całki, miejsca zerowe (Pierwiastki)i ekstrema funkcji (Ekstremum).
Interfejs programu GeoGebra

Program można pobrać ze strony www.geogebra.org i zainstalować na komputerze, można uruchomić wersje online (pod warunkiem, że ma się stały dostęp do Internetu) lub pobrać w sklepie Google na smartfona (aplikacja wykresy).
Program daje możliwość:
zapisywania i otwierania plików GeoGebry,
tworzenia rysunku i obrazków,
wykonywania konstrukcji,
badanie parametrów funkcji,
wykonywania obliczeń, stosowania wyrażeń algebraicznych,
wstawianie obrazów,
eksportowanie widoku grafiki do schowka,
wstawianie tekstu statystycznego i dynamicznego,
tworzenie arkuszy dynamicznych,
stosowanie warunków,
wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego,
i wiele innych.
GeoGebra wspomaga kształcenie matematyczne.
Dynamiczny rozwój nowoczesnych technologii informatycznych oraz postępująca komputeryzacja daje wiele możliwości wykorzystania ich w edukacji. Jedną z nich jest nauka matematyki z wykorzystaniem program GeoGebra. Program ten można wykorzystywać zarówno w nauczaniu matematyki w procesie kształcenia, ale także, na czym bardziej mi zależało, w trakcie samodzielnego uczenia się. GeoGebra znacznie ułatwiła mi przekazywanie abstrakcyjnych treści moim uczniom, dzięki czemu mam możliwość dotrzeć do większej liczby uczniów. Zarówno uczniowie zdolni i ambitni, jak i ci o mniejszych umiejętnościach mogą skorzystać w procesie kształcenia z materiałów przygotowanych przeze mnie lub innych w GeoGebrze. Uczniów szczególnie uzdolnionych zachęcam aby podjęli pracę z GeoGebrą w celu pogłębienia wiedzy co daje im możliwość przejście na wyższy poziom myślenia abstrakcyjnego m.in. przez łączenie różnych działów matematyki, np. geometrii z algebrą. Przedstawianie zagadnień matematycznych w sposób graficzny i uatrakcyjnienie formy prezentacji materiału pozwala słabym uczniom wtajemniczyć się w wiedzę matematyczną i pogłębić jej zrozumienie.
Dlaczego GeGebra? Ponieważ:
jest darmowa,
jest tworzona przez programistów, nauczycieli, matematyków oraz samych
użytkowników,
można ją zainstalować na różnych systemach operacyjnych (Windows, Linux, Mac) lub używać online bez instalacji na dowolnym urządzeniu z dostępem do Internetu,
można ją używać na różnych urządzeniach (komputery, tablety, smartfony),
rozwija powiązania matematyczne pomiędzy różnymi działami matematyki
(algebra, geometria, analiza matematyczna, statystyka itp.),
integruje różne sposoby wizualizacji obliczeń (równania, wykresy, tabele),
jest prosta intuicyjna w obsłudze i przyjazna dla użytkownika,
jej pliki mogą być przesyłane do sieci jako tzw. aplety, i udostępniane innym,
utworzone rozwiązania mogą być eksportowane do różnych formatów (png,
pdf, eps, svg, emf lub jako animowany gif),
współpracuje z arkuszem kalkulacyjnym,
może być używana przez uczniów wszystkich typów szkół, w tym wyższych.
Materiału edukacyjne najczęściej wykorzystywane przeze mnie na lekcjach matematyki.
Poniżej przestawię kilka apletów GeoGebry, które najchętniej wykorzystuje podczas lekcji matematyki ze swoimi uczniami. Część z nich jest zrobiona przeze mnie, część przez moich uczniów, a część wykorzystania jest od innych użytkowników, którzy zechcieli się z nami podzielić. Je tez chętnie udostępniam swoje aplety aby inny mogli z nich korzystać jeśli tylko zechcą. Kilka apletów stworzonych prze mnie to aplety innych użytkowników po mojej lekkiej edycji, aby lepiej dostosować je do moich potrzeb i potrzeb moich uczniów.

Najchętniej i najwięcej wykorzystuję GeoGebrę do realizacji treści związanych z funkcją. Oto kilka ich przykładów:

Rozpoznawanie funkcji po jej wykresie.
https://www.geogebra.org/m/qOMe6dlE
Autor: Innowacyjny program Matematyka dla LO

Aplet zawiera 4 przykłady wykresów, gdzie uczeń musi odpowiedzieć na pytanie czy przedstawiony wykres przedstawia funkcję czy nie. W każdym przykładzie można sprawdzić odpowiedź oraz uzyskać uzasadnienie, a także uruchomić animację sprawdzającą czy to jest funkcja. Dostępna jest również definicja funkcji.

Uczeń:
zna definicję funkcji,
wie co to jest wykres funkcji,
rozpoznaje funkcje, gdy dany jest wykres.
Wyznaczanie dziedziny i zbioru wartości funkcji.
https://www.geogebra.org/m/ybrTicF1
Autor: Innowacyjny program Matematyka dla LO
Plansza zawiera: definicje dziedziny, zbioru wartości, 8 przykładów wykresu funkcji, gdzie należy odczytać dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji korzystając z pomocy animacji, która wyznacza te zbiory.

Uczeń:
potrafi wyznaczać dziedzinę funkcji oraz jej zbiór wartości.
Określanie monotoniczności funkcji na podstawie jej wykresu.
https://www.geogebra.org/m/X6saDXa8
Autor: Innowacyjny program Matematyka dla LO
Aplet zawiera definicje funkcji rosnącej, malejącej i stałej oraz 6 zadań na odczytywanie przedziałów monotoniczności na podstawie wykresu funkcji. Uczeń podczas rozwiązywania zadania może wspomóc się animacją lub zobrazować definicją na rysunku, a po rozwiązaniu zobaczyć poprawna odpowiedź.

Uczeń:
określa monotoniczność funkcji danej wykresem lub jej przedziały monotoniczności.
Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu:
https://www.geogebra.org/m/tfnv4bdj
Autor: Dawid Młynarczyk
Plansza pozwala odczytać z podanego wykresu wszystkie własności oraz zobaczyć poprawny sposób ich zapisanie. Każdą własność można animować.

Uczeń:
potrafi odczytać z wykresu funkcji: jej dziedziną, zbiór wartości, wartość najmniejszą i największą, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji oraz odpowiednio zapisać te własności używając języka matematyki.
Przesunięcie wykresu funkcji.
https://www.geogebra.org/m/cbi94hmp oraz https://www.geogebra.org/m/D8l4cWgk Autor:Innowacyjny program Matematyka dla LO
Aplet daje możliwość własnego ustawienia parametrów przesunięcia wzdłuż osi układu współrzędnych lub wykonania symetrii wykresu względem osi układu współrzędnych i wykonania tego przesunięcia ale także wyświetla wzór funkcji po przesunięciu.

Uczeń:
potrafi przekształcać wykres funkcji poprzez translację i symetrię oraz zapisuje wzór powstałej funkcji.
Przekształcenia wykresu funkcji - Autor: Piotr Leszczyński
Aplet wykona przekształcenia funkcji przez symetrię , translację, powinowactwo i inne dowolnej dunkcji zadanaj wzorem przez użytkownika, oraz zapisze jej wzór.

Uczeń:
Potrafi dokonywać odpowiednich przekształceń oraz zapisywać wzór funkcji po tym przekształceniu.
Przykład nietypowej funkcji.
https://www.geogebra.org/m/vntshPjc - Autor: Jerzy Mil
Przykład funkcji opisującej odległość poruszającego się punktu od środka okręgu.

Uczeń:
potrafi rysować wykresy funkcji.
Rysowanie funkcji liniowej
https://www.geogebra.org/m/SoOsLxcw
Autor: Innowacyjny program Matematyka dla LO
Na planszy można prześledzić kolejne kroki rysowania funkcji liniowej
y=ax+b dla wybranych współczynników a i b oraz własności tej funkcji.

Uczeń:
potrafi narysować wykres funkcji liniowej y=ax+b dla konkretnych współczynników a i b,
określa własności funkcji liniowej.

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej.
Zadania związane z wyznaczaniem wzoru funkcji linowej podzielone są na dwa rodzaje: na podstawie wykresu oraz na podstawie własności. W aplecie można wylosować przykład wykresu funkcji na podstawie którego należy uzupełnić wzór funkcji. Swoją odpowiedź można sprawdzić. W drugiej części trzeba napisać wzór funkcji na podstawie własności – aplet zawiera 8 różnych zadań, w każdym można jeszcze wylosować dane do tego zadania. Również można sprawdzić poprawność swojej odpowiedzi.

Zadanie z zastosowaniem funkcji liniowej.
https://www.geogebra.org/m/vvXFkq2G
Autor: Innowacyjny program Matematyka dla LO
Zestaw pięciu bardzo ciekawych zadań na lekcje powtórzeniową z funkcji liniowej. W każdym zadaniu można zobaczyć interpretacja geometryczną w układzie współrzędnych oraz poprawną odpowiedź. W niektórych można jeszcze uruchomić odpowiednią animacje ilustrującą rozwiązanie.

Uczeń:
potrafi rozwiązywać zadania z zastosowaniem funkcji liniowej

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej.
https://www.geogebra.org/m/bUXmX4Sc
Autor: Dawid Młynarczyk
Pokazuje sposób rysowania wykresu korzystając z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej y=a(x-p)^2+q. Skupia na odgadnięciu znaczenia współczynników p i q. Odczytuje własności funkcji kwadratowej.

Uczeń:
potrafi narysować wykres funkcji kwadratowej danej wzorem w postaci kanonicznej,
zna interpretacje geometryczną współczynników p i q we wzorze
f(x)=a(x-p)^2+q
zna własności funkcji kwadratowej.
Wyznaczenie wartości największej i najmniejszej funkcji kwadratowej w danym przedziale domkniętym.
https://www.geogebra.org/m/YshNd9qG
Autor: Dawid Młynarczyk
Zadanie dotyczące wyznaczanie wartości największej i najmniejszej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym, gdzie można modyfikować wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej oraz końce przedziału aby pokazać uczniom wszystkie możliwe przypadki tego zadania. Podczas rozwiązywania można uzyskać dwie podpowiedzi, część rozwiązania(pomoc) oraz poprawną odpowiedź. Zadanie można modyfikować zgodnie ze zadaniami w podręcznikach aby sprawdzić sobie rozwiązanie. Świetnie nadaje się do pracy na lekcję ale i także samodzielnej pracy.

Uczeń:
znajduje wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej w danym przedziale domkniętym.

Znak funkcji kwadratowej.
https://www.geogebra.org/m/X6otIe6I
Autor: Innowacyjny program Matematyka dla LO
Dla funkcji można ustawić współczynniki w postaci ogólnej f(x)=ax^2+bx+c, dla której plansza wyznacz miejsca zerowe oraz pozwala odczytać argumenty, dla których wartości funkcji są dodatnie, ujemne, niedodatnie i nieujemne. Oczywiście można sprawdzić swoje rozwiązanie.

Uczeń:
wyznacza znak funkcji kwadratowej dla odpowiednich argumentów.

Zadania optymalizacyjne z zastosowaniem funkcji kwadratowej
Autor:Innowacyjny program Matematyka dla LO

https://www.geogebra.org/m/IhMvMLnU

https://www.geogebra.org/m/fMYRse8S

https://www.geogebra.org/m/WLLRXpUh

Ciekawe zadanie optymalizacyjne, gdzie oprócz rozwiązania można zobaczyć interpretacje geometryczną zadania oraz wykres funkcji przedstawiającej podane zależności.
Uczeń:
rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem funkcji kwadratowej.

GeoGebrę staram się wykorzystywać na wielu lekcjach lecz najczęściej stosuję ją jeszcze w geometrii analitycznej, planimetrii i stereometrii. Często korzystam z materiałów innowacyjnego nauczania matematyki opracowanego przez SWPS Uniwersytet Humanistycznospołeczny „Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących” zamieszczonych na stronie https://sites.google.com/site/programdlalo/home. często wykorzystuja materiały innych użytkowników www.geogebra.org dostosowując je do własnych potrzeb. W kolejnym skrypcie opiszę aplety wykorzystywane do innych działów matematyki.

PODSUMOWANIE
Wykorzystując GeoGebrę podczas lekcji, sprawiam że zajęcia stają się ciekawsze i atrakcyjniejsze dla uczniów. Dzięki temu można zainteresować uczniów i zainspirować ich do samodzielnego rozwiązywania różnego rodzaju zadań i problemów z zakresu matematyki a także do pracy rozwijając swoje zainteresowania. Taka praca rozbudza ciekawość uczniów szczególnie zainteresowanych poprzez wskazanie im nowatorskich rozwiązań istotnych problemów matematycznych. Sukcesem stosowania tych metod jest to, że podnosi się zainteresowanie matematyką, dla wielu uczniów staje się ona łatwiejsza, gdyż wiele mogą oni zaobserwować na rysunkach a także wielu uczniów zaczyna samodzielnie korzystać z GeoGebry w celu sprawdzenia swoich rozwiązań, czy tworzenia własnych plansz interaktywnych poznając tajniki prostego programowania warunkowego. Rozwija to wśród nich twórcze myślenie i wytrwałe dążenie do założonego celu.