Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Materiał na zajecia pozalekcyjne z matematyki w klasie I gimnazjum

ŁYK TEORII
RÓWNANIA

Z pewnością wielokrotnie spotykałeś dwa wyrażenia algebraiczne lub algebraiczne z arytmetycznym połączone znakiem równości. Są to równania. Służą one do zapisywania wielu zagadnień.

Przykłady równań 1-go stopnia z jedną niewiadomą:
2x – 3 = 8 i 4x = 5x – 2
Rozwiązać równanie to znaczy odpowiedzieć na pytanie, jaka liczba podstawiona w miejsce niewiadomej daje po obliczeniu prawdziwą równość. Czasami rozwiązaniem może być kilka liczb.

Równania nazywamy równoważnymi, jeśli mają to samo rozwiązanie.
Równania: 2x – 4 = 8 i x + 1 = 7 są równoważne, gdyż rozwiązaniem obydwu jest liczba 6.
2 • 6 – 4 = 8 i 6 + 1 = 7

Przy rozwiązywaniu równań korzystamy z następujących reguł:

1. Jeśli po obu stronach równania wykonamy działania, to otrzymamy równanie równoważne danemu.
2. Jeśli do obu stron danego równania dodamy lub od obu stron równania odejmiemy to samo wyrażenie, to otrzymamy równanie równoważne danemu.
3. Jeśli obie strony danego równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

• PRZYKŁADY
a) 6x – 3 = 2x + 5
6x – 2x = 5 + 3 |przenosimy wyrażenia z jednej strony równania na drugą zmieniając znaki tych wyrażeń na przeciwne
4x = 8 | :4 |obie strony równania dzielimy przez 4
x = 2 |rozwiązaniem równania jest liczba 2

b) ½x + 5 = 4 - x |• 2 |mnożymy obie strony równania przez 2, aby pozbyć się mianownika ułamka po lewej stronie
2• ½x + 2 • 5 = 2 • (4 – x)
x + 10 = 8 – 2x |przenosimy wyrażenia z jednej strony równania na drugą zmieniając znaki tych wyrażeń na przeciwne
x + 2x = 8 – 10
3x = -2 |:3 |obie strony równania dzielimy przez 3
x = -2/3 |rozwiązaniem równania jest liczba -2/3

Równanie może:
• mieć jedno rozwiązanie (jeden zbiór rozwiązań),
x + 5 = 1
x = 1 – 5
x = -4

• mieć nieskończenie wiele rozwiązań – nazywamy je wówczas równaniem tożsamościowym,
2(x + 1) = 2x + 2
2x + 2 = 2x + 2
2x – 2x = 2 – 2
0 = 0

•nie mieć rozwiązań – wówczas jest to równanie sprzeczne.
3x – 5 = 3x + 4
3x – 3x = 4 + 5
0 = 9

5(x + 1) = 5x – 5
5x + 5 = 5x – 5
5x – 5x = -5 – 5
0 = -10

Rozwiązanie równania polega na znalezieniu wszystkich liczb, które je spełniają, lub na uzasadnieniu, że takich liczb nie ma. Po rozwiązaniu równania warto sprawdzić, czy otrzymana liczba spełnia równanie, bowiem ma to na celu wykrycie błędów rachunkowych popełnianych w trakcie rozwiązywania.


KRÓTKI TRENING – CZYLI ZADANKA DO ROZWIĄZANIA

Zad.1 Zapisz za pomocą równań poniższe zdania.

a) Liczba 2 razy większa od liczby x jest równa 100.
b) Podwojona liczba y powiększona o 4 wynosi 31.
c) Liczba 3 razy mniejsza od liczby x jest równa 16.
d) 25% liczby x pomniejszone o 9 wynosi 16.
e) Liczba o 4 mniejsza od liczby x jest równa 16.
f) Suma połowy liczby x i liczby 4 wynosi 40.

Zad.2 Rozwiąż równania.
a) 2x + 6 = 12
b) 3y – 4 = 17
c) 4 – 2x = 10
d) x + 6 = 2x + 3
e) 2x + 4 = 4 – 3x
f) 3x + 11 = 6x – 1
g) 2(x + 1) = 5
h) 2(x + 4) = 8 + 2x
i) 2x – (3x + 1) = 6
j) 2(x + 1) + x = 3x
k) 2 – (5 + x) = 2(3 – x)
l) 4 – 5(x + 2) = 3 – 5x

Zad.3 Do zadań napisz odpowiednie równania.
a) Janek kupił zeszyt i dwa razy droższe pióro. Za zakupy zapłacił 6 zł.
b) W sadzie liczącym 45 drzew rosną jabłonie i grusze. Jabłoni jest o 8 więcej niż grusz.
c) Czekolada jest o 70 groszy droższa od butelki soku. Za dwie czekolady i 3 butelki soku zapłacono 8,40 zł.
d) Księgozbiór Kasi to książki przyrodnicze i historyczne – razem 40 książek. Książek historycznych jest o 20% mniej niż przyrodniczych.

Zad.4 Ułóż i rozwiąż odpowiednie równania.
a) Pewna liczbę powiększono dwukrotnie, a następnie powiększono o 2 i otrzymano 12. Co to za liczba?
b) Czterokrotność pewnej liczby zmniejszono o 4, a następnie podzielono przez 5 i otrzymano 4. Co to za liczba?

Zad.5 Które równanie nie ma rozwiązania?
a) 2x + 2 = 4(½x – 8)
b) 3x + 12 = 3(x + 4) + x

Zad.6 Które równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań?
a) 3(x – 5) = 20 – 10x
b) 3x – 18 + 8x + 1 = x – 2(1 – 5x) - 6

Zad.7 Ile rozwiązań ma równanie?
a) x + 2 = 6
b) x^2 = 16
c) 2(x – 1) = 2x + 3
d) 3x + 4 = 3(x + 1) + 1