Lekcja ćwiczeniowa - Analiza tendencji centralnej. Wykorzystanie średnich klasycznych i średnich pozycyjnych do badania rozkładu cechy badanej zbiorowości na przykładzie firmy spedycyjnej

Temat : Lekcja ćwiczeniowa - Analiza tendencji centralnej. Wykorzystanie średnich klasycznych i średnich pozycyjnych do badania rozkładu cechy badanej zbiorowości na przykładzie firmy spedycyjnej.

Cel ogólny :
Uczeń :
- nabędzie umiejętności badania przeciętnego poziomu cech charakteryzujących funkcjonowanie przedsiębiorstwa logistycznego.

Cele szczegółowe :
Uczeń potrafi:
- wykształcenie umiejętności obliczania średnich klasycznych i pozycyjnych tj. średniej arytmetycznej, średniej harmonicznej, mediany, dominanty, wartości min, wartości max, oraz wybranych miar rozproszenia tj. rozstępu, odchylenia standardowego,
- wykształcenie umiejętności wyciągania wniosków z informacji w postaci średnich, odchylenia standardowego.
- uświadomienie konieczności sprawdzania założeń przed wyznaczeniem określonego miernika statystycznego,
- wyrobienie umiejętności analitycznego badania przeciętnego poziomu cechy i interpretacji otrzymanych wyników
- wykształcenie umiejętności wykorzystania oprogramowania komputerowego (arkusz kalkulacyjny Excel) do badania przeciętnego poziomu cechy.

Metody pracy :
- miniwykład,
- ćwiczenia praktyczne na karcie pracy i w programie Excel,
- dyskusja.

Formy :
- indywidualna i zbiorowa ( z elementami pracy w grupie ).

Środki dydaktyczne:

- karta pracy z treścią zadania, krótką charakterystyką średnich klasycznych oraz pozycyjnych i wzorami, kalkulator, komputer z programem Excel.

Uproszczony tok lekcji:

1. Czynności organizacyjne.
2. Zapoznanie uczniów z tematem i celami lekcji.
3. Wprowadzenie do tematu – miniwykład przypomnienie z poprzednich zajęć rodzajów średnich i wprowadzenie ich różnorodności na przykładach z codziennego życia.
4. Rozdanie uczniom karty pracy z krótką charakterystyką średnich klasycznych i pozycyjnych oraz ze wzorami.
5. Uczniowie w grupach rozwiązują podpunkt D zadania 1. Uzyskane wyniki są zapisywane na tablicy i omawiane.
6. Uczniowie indywidualnie wykonują podpunkty A, B i C zadania 1 z użyciem programu Excel. Do podpunktów wykonywanych w programie Excel uczniowie sporządzają wykresy.
7. Interpretacja otrzymanych wyników.
8. Przekazanie kserokopii notatki.
9. Ocena uczniów.
10. Zadanie pracy domowej:

Zad. 1.
Dokonaj interpretacji sprzedaży usług transportowych na podstawie otrzymanych wyników (zadanie 1 podpunkt D)

Zad. 2.
W tabeli zostały zamieszczone miesięczne zarobki 12 pracowników w firmie logistycznej Samerix. Oblicz w programie Excel: średnią arytmetyczną, harmoniczną, medianę, dominantę, wartość minimalną, wartość maksymalną. Dane przedstaw na wykresie.

Pracownicy I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Zarobki 1280 3200 3200 1500 2000 4500 1580 2450 1580 3450 3470 3200

Przykładowe rozwiązanie pracy domowej:
Zad. 1.
W podpunkcie D zadania 1 analizowano sprzedaż usług transportowych. Analizując sprzedaż usług transportowych zauważa się, że firma w miesiącach od kwietnia do sierpnia osiągnęła najwyższą sprzedaż. W miesiącach zimowych firma odnotowano zdecydowany spadek sprzedaży. Od stycznia do kwietnia został odnotowany wzrost sprzedaży usług transportowe. Od maja do sierpnia następował powolny spadek sprzedaży usług transportowych. Po sierpniu nastąpił gwałtowny spadek sprzedawanych usług. Firma osiągnęła maksimum sprzedaży usług w kwietniu. Średnia sprzedaż usług transportowych w przeciągu 2013 roku ukształtowała się na poziomie 247,5. Odchylenie standardowe wyniosło 135,038. Oznacza to, że średnia sprzedaż usług transportowych odchylała się od średniej o 135,038. Mediana, czyli wartość środkowa dla sprzedaży usług wyniosła 225, natomiast dominanta 100 – wartość ta została odnotowana w miesiącach styczniu listopadzie i grudniu. Oznacza to, że w tych miesiącach odnotowano dokładnie taki sam poziom sprzedaży usług. Rozstęp między najwyższa a najniższą sprzedażą usług wyniósł 350.

KARTA PRACY UCZNIA (z rozwiązaniem)

Zadanie 1
Firma Kambuz jest małą firmą transportową z wieloletnim stażem i doświadczeniem w przewozach, oferującą usługi transportowe firmom i osobom prywatnym. Firma wykonuje zwykłe transporty materiałów budowlanych na terenie kraju. Firma zatrudnia 8 pracowników.

Za pomocą wybranych średnich klasycznych i pozycyjnych tj. średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna, mediana, dominanta, wartość minimalna i maksymalna oraz poznanych miar rozproszenia tj. rozstęp, odchylenie standardowe przeanalizuj popyt na usługi transportowe w firmie Kambuz. Czy popyt na usługi transportowe cechuje się sezonowością? Skorzystaj z danych zawartych w tabelach dla poszczególnych podpunktów oraz z wzorów znajdujących się na końcu karty pracy.
Zbadaj firmę pod względem:

A- ilości przejechanych kilometrów w 2013r.

Miesiąc I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Ilość przejechanych
kilometrów 900000 1000000 8000000 23000000 22000000 22000000 21000000 20000000 8000000 1000000 850000 800000

B- liczby przepracowanych godzin w 2013r.

Miesiąc I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Liczba przepracowanych
godzin 400 500 800 1280 1280 1280 1280 1200 800 600 500 400

C- wysokości osiągniętego zysku w 2013r.

Miesiąc I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Wysokość
osiągniętego
zysku 80000 95000 200000 325000 315000 315000 300000 290000 200000 150000 100000 80000

D- sprzedaży usług transportowych w 2013r.

Miesiąc I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Sprzedaż usług transportowych 100 120 250 450 430 400 360 340 200 120 100 100

Podpunkty A, B, C policz w programie Excel oraz sporządź wykresy.

Rozwiązanie zadania 1 podpunkt D (pozostałe zadania rozwiązane w programie Excel)
- średnia arytmetyczna =
(100+120+250+450+430+400+360+340+200+120+100+100)/12=247,5

-średnia harmoniczna
12/ ((1/100)+(1/120)+(1/250)+(1/450)+(1/430)+(1/400)+(1/360)+(1/340)+(1/200)+(1/120)+(1/100)+(1/100))= 12/ (0,01+0,0083333+0,004+0,0022222+0,0023255+0,0025+0,0027777+0,0029411+0,005+0,0083333+0,01+0,01)= 12/0,0684331= 175,35373

- min=100

-max=450

- mediana Me = (200+250)/2=225
100 100 100 120 120 200 250 340 360 400 430 450

- dominanta D= 100

- rozstęp R= 450-100=350

- odchylenie standardowe
Aby policzyć odchylenie standardowe musimy policzyć wariancję w szeregu szczegółowym:

S2=( (100-247,5)2 + (100-247,5)2 + (100-247,5)2 + (120-247,5)2 + (120-247,5)2 + (200-247,5)2 + (250-247,5)2 + (340-247,5)2 + (360-247,5)2 + (400-247,5)2 + (430-247,5)2 + (450-247,5)2 ) /12 =(21756,25+21756,25+21756,25+16256,25+16256,25+2256,25+6,25+8556,25+12656,25+23256,25+33306,25+41006,25)/12=218825/12=18235,417

s= 135,038 wartość odchylenia standardowego

I. WYBRANE MIARY TENDENCJI CENTRALNEJ. KRÓTKA CHARAKTERYSTYKA I WZORY:

Tendencja centralna w zbiorowości, to wskazanie wartości badanej cechy w zbiorowości statystycznej, wokół której skupione są wartości cech wszystkich jednostek wchodzących w skład tej zbiorowości. Tendencję centralną można określić wykorzystując miary tendencji centralnej (inaczej miary przeciętne lub średnie). Miary te są powszechnie stosowane, ponieważ są bardzo proste do obliczenia. Obliczanie tych miar pozwala na ścisłe scharakteryzowanie poziomu jakiegoś zjawiska występującego w zbiorowości statystycznej, używając tylko jednej lub kilku liczb. Miary tendencji centralnej mają jednak syntetyczny charakter, co wpływa na to, że wyłączenie różnic pomiędzy wartościami cechy poszczególnych jednostek wchodzących w skład zbiorowości statystycznej.

Miary te dzielimy na:

Miary (średnie) klasyczne – obliczane są na podstawie cechy wszystkich jednostek badanej zbiorowości. Średnimi klasycznymi są średnie:

- arytmetyczna,

- harmoniczna

- geometryczna,

- potęgowa.

Miary (średnie) pozycyjne – wartości cechy statystycznej, występujące u konkretnej jednostki statystycznej,
jednostka ta wyróżnia się miejscem (pozycja) w uporządkowanym szeregu statystycznym, średnimi pozycyjnymi są:

- wartości skrajne,

- dominanta,

- mediana,

- kwantyle.

MIARY KLASYCZNE

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA
n liczb x1,x2,...,xn jest to liczba taka , że .

ŚREDNIA HARMONICZNA

ŚREDNIA GEOMETRYCZNA

ŚREDNIA POTĘGOWA

MIARY POZYCYJNE

MEDIANA – środkowa wartość uporządkowanego zbioru wszystkich danych

DOMINANTĄ ( moda , wartość modalna ) nazywamy tę wartość zmiennej , która występuje najczęściej ( w zbiorze może być kilka dominant )

KWARTYLE

Kwartyl drugi to mediana.

II. MIARY ROZPROSZENIA WZORY (DODATKOWE MIARY WYKORZYSTANE W ZADANIU):

ROZSTĘP
R = xmax – xmin , gdzie xmax – największa wartość cechy w zbiorowości
xmin – najmniejsza wartość cechy w zbiorowości

ODCHYLENIE PRZECIĘTNE - jest średnią arytmetyczną bezwzględnych wartości odchyleń poszczególnych wartości szeregu od średniej arytmetycznej
d =

ODCHYLENIE STANDARDOWE

Notatka przekazana przez nauczyciela
Zadanie 1.
Za pomocą wybranych metod badań statystycznych zbadaj popyt na usługi transportowe w firmie Kambuz. Czy popyt na usługi transportowe cechuje się sezonowością?

Firma Kambuz jest małą firmą transportową z wieloletnim stażem i doświadczeniem w przewozach, oferującą usługi transportowe firmom i osobom prywatnym. Firma wykonuje transporty materiałów budowlanych na terenie kraju. W firmie jest zatrudnionych 8 pracowników.
Przeprowadzone badania statystyczne miały na celu sprawdzenie jak kształtuje się popyt na usługi transportowe firmie Kambuz i czy podlega on sezonowości. Aby móc zbadać popyt na usługi transportowe w firmie Kambuz wykorzystano następujące metody statystyczne: średnią arytmetyczną, wartości minimalne i maksymalne, medianę, dominantę oraz rozstęp. Badaniom statystycznym poddano następujące cechy: ilość przejechanych kilometrów, liczbę przepracowanych godzin, wysokość osiągniętego zysku oraz sprzedaż usług transportowych. Analizie poddano rok 2013.
Analizując ilość przejechanych kilometrów można stwierdzić, że firma w miesiącach od kwietnia do sierpnia przemierzyła najwięcej kilometrów. W miesiącach zimowych firma osiągała zdecydowany spadek ilości przejechanych kilometrów. Od stycznia do kwietnia został odnotowany wzrost ilości przejechanych km, natomiast po kwietniu odnotowano delikatny spadek. Firma osiągnęła maksimum przejechanych kilometrów w miesiącu kwietniu. Gwałtowny spadek liczby przejechanych kilometrów wystąpił od miesiąca września. Średnia długość trasy w przeciągu 2013 roku ukształtowała się na poziomie 10712500km. Odchylenie standardowe wynosi 9968498,679. Oznacza to, że średnia długość przejechanej trasy odchyla się od wartości średnio o 9968498,679. Mediana, czyli wartość środkowa dla ilości przejechanych kilometrów wyniosła 8000000, natomiast dominanta 1000000 – wartość ta została odnotowana w miesiącu lutym oraz w październiku. Oznacza to, że w tych miesiącach przejechano dokładnie tyle samo km. Rozstęp między najdłuższą trasą a najkrótszą wyniósł 22200000.
Kolejną analizowaną cechą była liczba przepracowanych godzin. Analizując liczbę przepracowanych godzin można stwierdzić, że firma w miesiącach od kwietnia do sierpnia wypracowała największą ilość godzin. W miesiącach zimowych firma osiągała zdecydowany spadek przepracowanych godzin. Od stycznia do kwietnia został odnotowany wzrost ilości przepracowanych godzin. Od kwietnia do lipca utrzymywała się stała ilość przepracowanych godzin, po czym od sierpnia liczba ta zaczęła maleć. Firma osiągnęła maksimum przepracowanych godzin w miesiącach od kwietnia do lipca. Średnia ilość przepracowanych godzin w przeciągu 2013 roku ukształtowała się na poziomie 860h. Odchylenie standardowe wynosi 378,8019391. Oznacza to, że średnia ilość przepracowanych godzin odchyla się od wartości średnio o 378,8019391. Mediana, czyli wartość środkowa dla ilości przepracowanych godzin wyniosła 800, natomiast dominanta 1280 – wartość ta została odnotowana w miesiącach od kwietnia do lipca. Oznacza to, że w tych miesiącach przepracowano dokładnie tyle samo godzin. Rozstęp między największą liczbą godzin a najkrótszą wyniósł 880km.
Kolejną analizowaną cechą była wysokość osiągniętego zysku. Analizując wysokość osiągniętego przez firmę zysku można stwierdzić, że firma w miesiącach od kwietnia do sierpnia wypracowała największą ilość zysku. W miesiącach zimowych firma osiągała zdecydowany spadek zysku. Od stycznia do kwietnia został odnotowany wzrost osiągniętego przez firmę zysku. Od maja do czerwca zysk utrzymywał się na stałym poziomie, po czym od lipca liczba ta zaczęła maleć. Firma osiągnęła maksimum zysku w kwietniu. Średnia liczba osiągniętego zysku w przeciągu 2013 roku ukształtowała się na poziomie 204166,6667zł. Odchylenie standardowe wyniosło 101036,2971. Ta sytuacja oznacza, że liczba osiągniętego zysku odchyla się od wartości średnio o 101036,2971. Mediana, czyli wartość środkowa dla osiągniętego w firmie zysku wyniosła 200000, natomiast dominanta 80000 – wartość ta została odnotowana w miesiącach styczniu i grudniu. Oznacza to, że w tych miesiącach odnotowano dokładnie taki sam poziom zysku. Rozstęp między najwyższym a najniższym zyskiem wyniósł 245000.
Po przeprowadzeniu badań statystycznych i przeanalizowaniu poszczególnych cech można stwierdzić, że popyt na usługi transportowe w firmie Kambuz podlega sezonowości. Najwyższy jest w miesiącach wiosennych i letnich natomiast najniższy w jesiennych i zimowych. Analizując ilość przejechanych kilometrów, liczbę przepracowanych godzin, wysokość osiągniętego zysku oraz sprzedaż usług transportowych zauważono, że te czynniki osiągnęły maksimum w miesiącu kwietniu. Związane jest to z faktem, że osoby prywatne jak i firmy najczęściej dokonują zakupów przedmiotów budowlanych w miesiącach wiosennych.
Aby firma mogła złagodzić sezonowość popytu na usługi transportowe w miesiącach jesiennych i zimowych powinna rozpocząć organizację kompleksowych usług transportowych na obszarze kraju i UE.