Z matematyką w nieskończoność - scenariusz zajęć

Temat: Z matematyką w nieskończoność (szereg Grandiego).
Cele edukacyjne:
kształcenia
wiadomości:
- wprowadzenie pojęcia sum nieskończonych
umiejętności:
- działania na sumach nieskończonych
b) wychowania
- kształtowanie umiejętności logicznego myślenia i wyciągania wniosków
- rozbudzenie ciekawości i chęci poznawania matematyki
Metody pracy:
- wykład

CZĘŚĆ I
Rozważmy strzałę wystrzeloną z łuku do tarczy. Strzała aby dotrzeć do tarczy musi pokonać:
najpierw połowę drogi
później połowę pozostałej drogi
później połowę połowy pozostałej drogi
itd.
Postępując w taki sposób dochodzimy do wniosku, że takich podziałów możemy dokonywać nieskończoną liczbę razy, zatem strzała zawsze będzie miała do pokonania „jakąś połowę”, jakiś ułamek drogi.

Co podpowiada nam intuicja? Czyżby strzała miała nigdy nie dolecieć do tarczy????

Ten paradoks nosi nazwę paradoksu strzały, bądź paradoksu Achillesa.
Paradoks ten polega na tym, że żyjemy w świecie skończonym a tutaj próbujemy podzielić drogę na nieskończenie wiele odcinków – prawa rządzące światem skończonym i nieskończonym są różne.

CZEŚĆ II
S=1-1+1-1+1-1+1-1+⋯
jego suma w zależności od tego w jaki sposób będziemy grupowali składniki wynosi:
S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+⋯=0+0+0+0+⋯=0
lub
S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+⋯=1+0+0+0+0+⋯=1
zatem z powyższego wynika, że suma nie istnieje (i szereg jest rozbieżny).
Ale można spojrzeć na ten problem w inny także poprawny matematycznie sposób.
Jeżeli
S=1-1+1-1+1-1+1-1+⋯
obliczmy wartość wyrażenia
1-S=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+⋯)=1-1+1-1+1-1+1-1+⋯=S
a stąd otrzymujemy, że 1-S=S więc S=1/2
Uwaga: Ten wynik można potwierdzić przy pomocy innych bardziej zaawansowanych narzędzi matematycznych np. sumowanie metodą Cesaro daje dokładnie ten sam wynik.
CZĘŚĆ III
Oznaczmy sumę wszystkich liczb naturalnych przez X i zapiszmy:
X=1+2+3+4+5+6+7+8+⋯
zgodnym z intuicją wydaje się że suma ta równa jest nieskończoności. Ale ... weźmy sobie następującą sumę:
Y=1-2+3-4+5-6+7-8+⋯
i obliczmy wartość wyrażenia (dodajemy: pierwszy do drugiego, drugi do trzeciego, trzeci do czwartego itd.)
Y+Y=(1-2+3-4+5-6+7-8+⋯)+(1-2+3-4+5-6+7-8+⋯)=1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+(5-3)+(-6+5)+(7-6)+(-8+7)=1-1+1-1+1-1+1-1+⋯=S
z powyższego otrzymujemy, że 2Y=1/2 zatem Y=1/4.
Zbadajmy teraz różnicę
X-Y=1+2+3+4+5+6+7...-(1-2+3-4+5-6+7-8+⋯)
Opuszczamy nawias i dodajemy składniki (pierwszy do pierwszego, drugi do drugiego, trzeci do trzeciego, itd.)
X-Y=1-1+2+2+3-3+4+4+5-5+6+6+7-7+⋯=0+4+0+8+0+12+0+⋯=4(1+2+3+4+5+⋯)=4X
zatem
X-1/4=4X
Stąd
X=-1/12
Uwaga: Ten wynik można potwierdzić przy pomocy innych bardziej zaawansowanych narzędzi matematycznych. Co najciekawsze na poziomie fizyki subatomowej nie da się wyjaśnić pewnych zjawisk nie przyjmując tego wyniku za poprawny czyli sprawdza się on w praktyce.