Dziecięca matematyka

DZIECIĘCA MATEMATYKA
według
Edyty Gruszczyk Kolczyńskiej
i Ewy Zielińskiej

Organizator:

mgr K. Michalczyk
PM nr 7 w Łodzi

Temat: Dziecięca matematyka według Edyty Gruszczyk – Kolczyńskiej i Ewy Zielińskiej

1. Rozwijanie umiejętności pojęć matematycznych w procesie edukacyjnym dziecka przedszkolnego

Dziecko w wieku przedszkolnym posiada duże predyspozycje, aby w sposób szybki i łatwy opanować umiejętności z zakresu kształtowania pojęć matematycznych takich jak dodawanie, odejmowanie i wykonywanie prostych działań matematycznych o charakterze logicznym. W związku z tym wydawać by się mogło, że umiejętności te również w szkole okażą się dla dziecka łatwe, przyjemne i zrozumiałe. Okazuje się jednak, że aby dziecko osiągnęło sukces w nauce matematyki musi nabywać pewne umiejętności od najmłodszych lat. Należą do nich: rozumienie, wykonywanie poleceń, umiejętności koncentrowania uwagi, dokonywania obliczeń za pomocą konkretów, a przede wszystkim czerpanie radości z wykonanej prawidłowo pracy co będzie motywacją do podejmowania przez dziecko działań z tego zakresu. Najwięcej uwagi poświęca temu zagadnieniu prof.dr.hab. Edyta Gruszczyk-Kolczyńska, która na przestrzeni lat dokonała wielu badań, opracowała wiele książek z których można czerpać wiedzę zarówno teoretyczną jak i praktyczną.
Realizacja zadań z zakresu rozwijania pojęć matematycznych obejmuje każdy program edukacji przedszkolnej. Zadaniem nauczyciela jest dobór takiego, który według niego będzie w najlepszy sposób pomagał w realizacji tych zamierzeń. Uzdolnienia matematyczne dzieci wymagają szczególnej uwagi. Jeśli uzdolnienia te nie są pielęgnowane i rozwijane we właściwym czasie mogą zostać zaprzepaszczone. Punktem wyjścia powinno być stymulowanie aktywności dziecka we wszystkich możliwych formach w ramach wieku rozwojowego dziecka, jego umiejętności i predyspozycji. Matematyka powinna stać się synonimem dobrej zabawy przyjemnych doznań i ciekawych zadań, a wiedza zdobyta na poziomie trzylatka powinna być rozszerzana i pogłębiana z wiekiem. Jeżeli trzylatek klasyfikuje, grupuje i porównuje według jednej lub dwóch cech, to pięcio- czy sześciolatek musi tę wiedzę mieć na tyle utrwaloną, by móc poradzić sobie z bardziej złożonymi zadaniami z tego zakresu działania. Ważnym elementem w nauce matematyki w tym wieku będzie odwołanie się do doświadczeń i obserwacji dziecka. Kształtowanie kreatywności zainteresowania i zaangażowania dziecka w klasyfikowanie, grupowanie, porównywanie wielkości i ciężkości, dodawanie i odejmowanie, tworzenia rytmów, konstruowania gier powinno odbywać się niejako przy okazji na przykład dzieci ubierając choinkę mogą przeliczać bombki, określać ich wielość, kształt, grupować według podanej cechy, określać ilość ,,na oko” lub przeliczać. Dobrym miejscem na rozwiązywanie tego typu zadań będzie kącik przyrody, gdzie dzieci na bazie materiału przyrodniczego porównują ciężkość eksponatów, ich ilość, kształt. Stawiać wówczas można wiele pytań na które dzieci będą szukać odpowiedzi bawiąc się np. Czy 5 szyszek waży tyle samo co 5 kasztanów? Czy w takim samym pojemniku zmieści się tyle samo żołędzi co kasztanów? Przy okazji takich zabaw można zapoznać dzieci z działaniem wagi celem sprawdzenia i zweryfikowania swoich spostrzeżeń. Dobrym pomysłem może być podpisywanie eksponatów cyframi .Dziecko wówczas w łatwy sposób będzie kojarzyć cyfrę z jej obrazem graficznym.
Innym sposobem pobudzania dzieci do podejmowania działań matematycznych będzie konstruowanie gier, podczas których dzieci z wielkim zaangażowaniem będą wykorzystywać swoją wiedzę, a szukając rozwiązań nabywać będą nowych umiejętności i zdolności. Podejmując się pracy z dzieckiem należy zadać sobie pytanie w jaki sposób dziecku zapewnić sukces w nauce matematyki, co uczynić aby nauka była dla dziecka przyjemnością i jakie cechy umysłu należy kształtować, aby dziecko mogło sprostać wymaganiom. Poza radami i zachętami należy dzieciom pomóc w zrozumieniu reguł lub przezwyciężaniu trudności oraz nauczyć ich posługiwania się precyzyjnym słownictwem, aby umiały nazywać wykonane działania.
Aby dobrze uczyć dzieci matematyki nie wystarczy wiedza z tej dziedziny, należy dążyć do zrozumienia tego, co dziecko czyni i mówi; prócz dobrej woli potrzebna jest tu pewna wiedza psychologiczna. Wiedza ta konkretnie wskaże nam jak i co kształtować w dziecięcym umyśle, aby dziecko było mądrzejsze i więcej osiągnęło. Współczesne przedszkole ma stworzyć możliwie najkorzystniejsze warunki rozwoju dziecka, bo jak wskazują badania, im więcej umiejętności związanych z kojarzeniem, zapamiętywaniem, rozumieniem nabędą dzieci właśnie w tym wieku (3-6 lat) tym łatwiej im będzie zrozumieć matematykę w szkole.
Wyznaczając sobie za cel nauczenia dziecka matematyki w okresie jego życia przedszkolnego, trzeba koniecznie poznać jego możliwości w zakresie rozwoju psychologicznego, mieć indywidualne podejście do każdego dziecka w związku z tym, że każdy ma swoje tempo rozwoju, a jego procesy poznawcze są na różnych etapach. Rozpoznanie twórczego potencjału to docenienie możliwości dzieci oraz ich wzmacnianie i nagradzanie. Niezwykłą rolę w tym okresie odgrywa kreatywność nauczyciela, która będzie polegać na atrakcyjnym prowadzeniu zajęć, umiejętnym wykorzystaniu zaistniałych sytuacji i przede wszystkim wprowadzaniu dzieci w świat matematyki w taki sposób, aby ona zainteresowała i inspirowała do podejmowania samodzielnych działań. Warto również w swoich działaniach wspierać się gotowymi pomocami dydaktycznymi, które dają szeroki wachlarz pomysłów i rozwiązań w realizacji poszczególnych obszarów z zakresu matematyki. Doświadczanie i eksperymentowanie to podstawa edukacji i to dzięki nim w naturalny sposób dzieci się uczą i odkrywają.

1 Temat ten szeroko opisuje Katarzyna Lotkowska w artykule ,,Matematyka już od przedszkola” w ,,Bliżej przedszkola” Nr 12
grudzień 2011
2 ,,O matematycznych uzdolnieniach starszych przedszkolaków” artykuł E. Gruszczyk –Kolczyńskiej w ,,Bliżej przedszkola” Nr 12 grudzień 2011 mówi o tym jak diagnozować dzieci, aby rozpoznać uzdolnienia i predyspozycje.
3 Pytania i odpowiedzi na nie zawarte są w książce ,, Jak nauczyć dzieci konstruowania gier?” E .Gruszczyk- Kolczyńska, K.Dobosz, E. Zielińska
4 Zagadnienia z zakresu wiedzy psychologicznej, merytorycznej w powiązaniu z programem przedszkola zawiera książka pt. ,,Dziecięca matematyka...” E. Gruszczyk- Kolczyńskiej i E. Zielińskiej
5 Podkreśla to w swojej publikacji B. Bieleń ,,Rozwijanie myślenia dzieci” oraz Z. Bogdanowicz ,,Zabawy dydaktyczne...”

Bibliografia:
1. ,,Dziecięca matematyka. Książka dla rodziców i nauczycieli” Edyta Gruszczyk – Kolczyńska, Ewa Zielińska . . ,,Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne” Warszawa 1997
2. ,,Jak nauczyć dzieci sztuki konstruowania gier?” Edyta Gruszczyk – Kolczyńska, Krystyna dobosz, Ewa Zielińska. ,,Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne” Warszawa 1996

2. Etapy dziecięcego liczenia w edukacji matematycznej

Dziecięce liczenie jest jednym z głównych wyznaczników dojrzałości do uczenia się matematyki. Rozwój liczenia rozpoczyna się od doświadczeń osobistych dziecka. Można powiedzieć, że czynność liczenia wywodzi się z rytmu i gestu wskazania. Już najmłodsze dzieci, ciekawe otaczającego ich świata, wyciągają rękę w geście wskazania danego przedmiotu. Dzieci skłaniają osobę dorosłą, by spojrzała w stronę przedmiotu czy miejsca, budzącego dziecięcą ciekawość i do nazwania tego, co tam się znajduje. Częstokrotnie we wskazanym przez dziecko miejscu znajduje się więcej niż jeden obiekt i wtedy zaczyna się używanie przez dziecko nazwy zastępczej przedmiotu - padają słowa: "ta", "to", "jeden", "dwa" etc. I w ten właśnie sposób rozpoczyna się przygoda z liczeniem.

Trzeba aż sześciu lat intensywnych ćwiczeń, by w umyśle dziecka ukształtować następujące umiejętności:
- liczenie obiektów i odróżnianie prawidłowego liczenia od błędnego,
- dodawanie i odejmowanie, najpierw na konkretach, potem na palcach i wreszcie w pamięci,
- ustalenie, gdzie jest więcej, a gdzie mniej przedmiotów.

Dziecięce liczenie kształtuje w umyśle dziecka w podobny sposób, w jakim opanowuje ono gramatykę ojczystego języka. Istotną rolę odgrywa tu wcześnie rozwijająca się zdolność do wychwytywania pewnych prawidłowości. Dziecko wcześniej rozumie mowę niż wypowiada zdania. Porozumiewanie staje się możliwe, bo w umyśle dziecka ukształtowane są już schematy komunikowania się z zakresie najważniejszych spraw. Pierwszą komunikację stanowi język niewerbalny (gesty, mowa ciała, mimika), a następnie - w miarę rozwoju - wstawia gdzieniegdzie słowo. W późniejszym etapie schematy wypełniaj się słowami, a słowa układają się komunikaty, które zaczynają występować zgodnie z zasadami gramatyki języka ojczystego. Wszystko to jest możliwe dzięki komunikacji dziecka z dorosłymi. Od urodzenia rodzice mówią do swojego dziecka, zachęcają go do powtarzania słów, nagradzają za każdą formą komunikacji. Jeśli dorośli zachowali by podobną prawidłowość przy nauce liczenia, dzieci osiągały by lepsze rezultaty w sposób szybszy i łatwiejszy.
Dziecięce liczenie rozpoczyna się od wyodrębnienia przez dziecko to, co chce policzyć. Może to uczynić gestem lub wzrokiem. Potem dotyka lub wskazuje przedmioty i określa je liczebnikami - "jeden", "dwa". W miarę ćwiczeń i czasu dziecko zwiększa możliwości poznawcze. Zna więcej liczebników, dba już o to by przeliczyć wszystkie wyodrębniane przedmioty. Trzeba dziecku umożliwiać i stwarzać okazję do częstego liczenia. W ten sposób zapewniamy mu okazję do zwiększania zasobów zapamiętywanych liczebników oraz dbałość o wymienienia ich we właściwej kolejności.
Dziecko potrzebuje wielu doświadczeń w liczeniu, aby określić liczebnikiem, ile przedmiotów jest policzonych. Musi wiedzieć, że ostatni wypowiadany liczebnik ma podwójne znaczenie:
- oznacza ostatni liczony przedmiot, np. dziesiąty kasztan,
- określa liczbę policzonych przedmiotów, np. dziesięć kasztanów.

Dziecko uczy się liczyć przez osobiste doświadczenie. Widzi jak liczy dorosły i słysząc ostatni wypowiadany przez niego liczebnik nie wie, tak naprawdę, ile jest policzonych przedmiotów. Musi sam tego doświadczyć - chce po prostu sam je przeliczyć. I dopiero po wielokrotnym doświadczaniu rytmu liczenia, wymieniając liczebniki, wie: "Jest tyle". To w miarę ćwiczenia liczebniki napełniają się treścią i dziecko stopniowo zaczyna rozumieć, że słowo "siedem" oznacza siódmy liczy przedmiot i siedem przedmiotów policzonych. Doświadczenia osobiste dziecka stanowią bodziec, z którego każde dziecko tworzy pojęcia i umiejętności. Jeśli uda nam się dobrać je w sposób celowy, to przyczynią się one do rozwoju myślenia i hartowania dziecięcej odporności. Nazywanie przedmiotów oraz wykonywanie czynności sprzyja koncentracji uwagi i pomaga dostrzec dziecku, co ważne. Na swój sposób uczy się ono czuć sens, tego co robi. Należy przy tym pamiętać, że dziecięce wypowiedzi są ważną wskazówką dla dorosłego. Na ich podstawie możemy stwierdzić czy dziecko podąża w prawidłowym kierunku, czy rozumie sens swoich działań, czy uczy się tego, co trzeba.
Trzeba dziecko nieustannie zachęcać - poprzez zabawę - do tej czynności. Dzieci przedszkolne muszą bardzo często liczyć by ukształtować schemat poprawnego liczenia. Przy czym należy pamiętać, by organizować dziecku sytuacje pomagające rozumieć, że wynik liczenia niezależny od kierunku liczenia oraz od tego, czy przedmioty przestawiono czy też nie. Liczenie nie jest procesem czytania. Przedmioty, np. kasztany, policzone od lewej do prawej srony, mają taką samą wartość, jak liczone w drugą stronę. Dorosły musi pamiętać, by nie narzucać tu swojej woli. Oprócz gier i zabaw, trzeba też po prostu rozmawiać z dzieckiem, co sprzyja na jego rozwój myślenia, tym samym przekłada się na proces późniejszego kształcenia.

Kiedy dziecko liczy już sprawnie można stosować trudniejsze zadania, np.: liczenie od zadanej liczby ( licz od pięciu), liczenie do tyłu, zacznij od dziesięciu. Pamiętajmy, że umiejętność liczenia przedmiotów realizowane jest równocześnie z kształtowaniem się umiejętności dodawania i odejmowania. Najważniejsze znaczenie ma tu proces odrywania się od konkretów i można w nim wyróżnić następujące etapy:

1. Dziecko wcześnie interesuje się zmianami typu: dodać i ująć, obserwując czynność dokładania (odsuwania) dostrzega zmiany. Potrafi powiedzieć, że tu jest mniej, a teraz dodano coś i jest więcej. Tym samym jest skłonne policzyć, ile jest po każdej takiej zmianie owych przedmiotów.
2. Kolejny etap to samodzielna manipulacja - dziecko odsuwa, zabiera, dodaje przedmioty, przelicza je, patrzy ile mu zostało, ustala samodzielnie wynik, kierując się zasadą: "muszę je policzyć wszystkie".
3. Dziecku będzie łatwiej, jeżeli dorosły pokaże, jak liczy się na palcach - jest to wyższy poziom umiejętności. Liczenie na palcach ukazuje możliwość zastępowania przedmiotów palcami (prostowanie i zginanie palców, czyli dodawanie i odejmowanie). Liczenie na palcach jest o tyle ważne, że pozwala dziecku łatwiej pokonać drogę od konkretów do liczenia w pamięci, a tym samym abstrakcji.
4. Kolejnym etapem, jest doliczanie i odliczanie (dziecko nie musi liczyć wszystkich przedmiotów, ponieważ potrafi ujmować globalnie małe liczebności), np.: położono na stole 9 kasztanów i odsunięto 4, na pytanie "Ile pozostało" dziecko, patrzy na odsunięte kasztany i nie liczy ich (ujęło je globalnie i wie, że jest ich cztery), wystarczy mu, że policzy pozostałe, aby znać wynik odejmowania.
5. Ostatnim etapem jest liczenie w pamięci.

Dziecko, przechodząc wyżej opisane etapy, musi wykonać setki obliczeń. I im trening jest intensywniejszy i mądrze przeprowadzony, tym dziecko szybciej nauczy się sprawnie liczyć w pamięci.

Należy pamiętać, że dziecku bez powyższych umiejętności - prawidłowo wykształconych - będzie trudno osiągnąć sukcesy w szkole. Dziecko w późniejszym etapie może stracić motywację do dalszej nauki matematyki, a przy długotrwałych niepowodzeniach może przekształcić się w ucznia, który w ogóle nie lubi szkoły i wszystkiego, co jest z nią związane. Z kolei stałe uczucie niepokoju i lęku związane z niepowodzeniami szkolnymi, może przeistoczyć się w dziecięce zaburzenia nerwicowe. Dlatego tak ważne jest by wspierać dzieci i w rozumny sposób wprowadzić je w świat dziecięcego liczenia.

Literatura:

1. Gruszczyk-Kolczyńska E. (1999). Dziecięca matematyka. Diagnozowanie dziecięcej kompetencji. Filmy dla nauczycieli, pedagogów i psychologów, WSiP
2. Gruszczyk-Kolczyńska E., Zielińska E. (1997) Dziecięca matematyka. Edukacja matematyczna dzieci w domu, w przedszkolu i szkole, WSiP
3. Gruszczyk-Kolczyńska E. (1992). Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki., WSiP

3. Edukacja matematyczna według
Edyty Gruszczyk – Kolczyńskiej i Ewy Zielińskiej
Jest to metoda, której celem jest wspomaganie rozwoju umysłowego dzieci, zwłaszcza w zakresie kształtowania pojęć matematycznych, ćwiczenie odporności emocjonalnej dziecka oraz budowanie pozytywnego obrazu samego siebie. Metoda E. Gruszczyk - Kolczyńskiej i E. Zielińskiej sprzyja również stymulowaniu uzdolnień matematycznych u dzieci, dobrze przygotowuje do nauki matematyki w szkole.
Okres przedszkolny to czas otwierania się dziecięcych oczu na świat, czas poznawania i doświadczania. To także okres wielkich możliwości, które wymagają odpowiedniej stymulacji i bodźców potrzebnych do kształtowania czynności umysłowych. W edukacji matematycznej ważne jest, aby mieć świadomość tego, w jaki sposób dzieci uczą się. Najważniejsze są osobiste doświadczenia. Stanowią one budulec, z którego dziecko tworzy pojęcia i umiejętności, rozwija myślenie, hartuje dziecięcą odporność. W trakcie tych doświadczeń dziecko powinno mówić, tzn. słownie określać swoje spostrzeżenia, sens wykonywanych czynności i przewidywane skutki. Mówienie o wykonywanych czynnościach sprzyja koncentracji uwagi i pomaga dziecku dostrzec to, co ważne.

Zajęcia dla dzieci powinny być wypełnione zabawami, ciekawymi zadaniami i grami.
Celem tej metody jest wspomaganie rozwoju umysłowego dzieci i dobre przygotowanie dzieci sześcioletnich do podjęcia nauki w szkole. Powstała ona w wyniku badań naukowych zmierzających do połączenia w jeden proces:
⋆ intensywnego wspomagania rozwoju inteligencji operacyjnej dzieci,
⋆ kształtowania odporności emocjonalnej potrzebnej dzieciom do pokonywania trudności,
⋆ rozwijania umiejętności matematycznych stosowanych w codziennym życiu i wymaganych potem na lekcjach matematyki.
Program edukacji matematycznej E. Gruszczyk – Kolczyńskiej ujmuje 12 kręgów tematycznych, które należy realizować w podanej kolejności, uwzględniając stopniowanie trudności i prawidłowości rozwoju dziecka:
1. Orientacja przestrzenna, czyli kształtowanie umiejętności, które pozwolą dziecku dobrze orientować się w przestrzeni i rozmawiać o tym, co się wokół niego dzieje.
2. Rytmy – rozwijają umiejętność skupiania uwagi na prawidłowościach i korzystania z nich w różnych sytuacjach; potrzebne są przy nabywaniu umiejętności liczenia i rozumienia sensu mierzenia.
3. Kształtowanie umiejętności liczenia oraz dodawania i odejmowania obejmuje proces począwszy od liczenia konkretnych przedmiotów przez liczenie na palcach do liczenia w pamięci.
4. Wspomaganie rozwoju operacyjnego rozumowania, którego celem jest przygotowanie dziecka do zrozumienia pojęcia liczby naturalnej (zbiory).
5. Rozwijanie umiejętności mierzenia długości w zakresie dostępnym 6-latkom (1 cm, 1 m, 1 km, stopa, kroki, łokieć, dłoń, patyk, sznurek, miara).
6. Klasyfikacja – czyli wspomaganie rozwoju czynności umysłowych potrzebnych do tworzenia pojęć (wprowadzenie dzieci do zadań o zbiorach i ich elementach – segregowanie).
7. Układanie i rozwiązywanie zadań arytmetycznych – doskonalenie umiejętności rachunkowych dzieci.
8. Zapoznanie dzieci z wagą i sensem ważenia (ważymy lalki, piłki, misia i inne zabawki), używamy terminu „ciężar”.
9. Mierzenie płynów – pomaga dzieciom zrozumieć pojęcia: mniej – więcej.
10. Intuicje geometryczne:

• kształtowanie pojęć geometrycznych – dziecko konstruuje w swoim umyśle pojęcia samodzielnie (lustro, figury),
• układanie szlaczków.
11. Konstruowanie gier przez dzieci – hartuje odporność emocjonalną i rozwija zdolności do wysiłku umysłowego:
• gry – opowiadania
• gry z czynnościami matematycznymi (doliczania, odliczanie).
12. Zapisywanie czynności matematycznych znakami (<, >, =,+,).

Wszystkie wymienione wyżej kręgi tematyczne trzeba zrealizować w podanej kolejności, gdyż uwzględnia ona nie tylko stopniowanie trudności, ale także prawidłowości rozwoju dziecka. Dla uzyskania dobrych efektów zajęcia powinny być prowadzone trzy razy w tygodniu. Zajęcia należy prowadzić dotąd, dopóki sprawiają dziecku przyjemność.
Taki zakres kształcenia sprzyja stymulowaniu uzdolnień matematycznych u dzieci
Orientacja przestrzenna

Kompetencje, pomagające dzieciom lepiej orientować się w przestrzeni, powinno kształtować się zgodnie z prawidłowościami rozwojowymi przez cały okres wychowania przedszkolnego. Najwcześniej dziecko uświadamia sobie położenie przedmiotów wokół siebie, w stosunku do własnego ciała, a znacznie później potrafi określić stosunek między przedmiotami na podstawie położenia niektórych przedmiotów względem innych. Pamiętać należy o ustaleniu punktu odniesienia w stosunku, do którego określa się położenie danego przedmiotu, oraz wyznacza kierunek w przestrzeni. Kształtowanie tych pojęć powinno odbywać się w oparciu o naturalne układy przedmiotów.
Przy ustaleniu schematu własnego ciała punktem odniesienia jest serce, którego wyraźniejsze bicie można wyczuć po intensywnej zabawie ruchowej. Pozwoli to określić – wskazać lewą stronę. Oznaczenie ręki prawej, dominującej gumką, wstążką, bransoletą ułatwi dziecku zapamiętanie danej strony ciała.
Zdobywanie orientacji w schemacie własnego ciała i przestrzeni (w przód – w tył, do góry – na dół, przed siebie – za siebie itd.) powinno odbywać się w naturalnych sytuacjach, przy każdej nadarzającej się okazji, oraz poprzez udział w różnorodnych zabawach, ćwiczeniach doskonalących spostrzeżenia wzrokowe, słuchowe, dotykowe, koordynację ruchowo – wzrokową. Dzieci wypowiadają się także poprzez rysunek. Warto więc powiązać kształtowanie świadomości własnego ciała z rysowaniem.

Ćwiczenia nastawione na kształtowanie świadomości schematu własnego ciał:
Moja głowa: potrafię nazwać jej części i wiem, co oznaczają miny.
Moje ręce: potrafię nazwać ich części i wiem, co wyrażają gesty.
Moje nogi: potrafię nazwać ich części i wiem, że nogi także mówią.
Mój tułów: potrafię nazwać jego części.
Zagadki ruchowe, czyli pantomima: potrafię porozumieć się bez słów.
Rysunek człowieka: potrafię narysować mamę, tatę, siebie i każdego.
Rozwijanie zdolności do przyjmowania własnego punktu widzenia:
Określenie przestrzeni.
Chodzenie "pod dyktando".
Ćwiczenia z woreczkiem.
Wdrażanie dzieci do rozpatrywania otoczenia z punktu widzenia drugiej osoby:
Dorosły i przestrzeń.
Zadania z woreczkiem.
Która lewa, która prawa.
Sytuacje, które pomagają dzieciom orientować się w otoczeniu z uwzględnieniem różnych przedmiotów:
Ćwiczenia z krzesełkiem i woreczkiem.
Ćwiczenia przy stoliku.
Ćwiczenia z pudełkami i klockiem.
Ćwiczenia ułatwiające dzieciom orientację na kartce papieru:
Kartka: brzeg górny, dolny, lewy, prawy.
Kartka: rogi dolne i górne.
Kreślenie egipskich wzorów.
Labirynty.
Rytmy

Trudno określić moment, kiedy dziecko zaczyna odczuwać rytm. Człowiek lęka się chaosu i bałaganu. Jeżeli cokolwiek w otoczeniu powtarza się i układa w rytm, przestaje budzić niepokój. Wszystkie formy życia na ziemi przebiegają według ustalonych rytmów, także życie człowieka. Rytm jest obecny w wielu formach aktywności człowieka. Język, którym się posługujemy ma określony rytm i melodię. Matematyka także wypełniona jest rytmami. Liczenie wywodzi się z rytmów wskazywania obiektów. Warto zatem zająć się kształtowaniem dziecięcej zdolności do dostrzegania regularności rytmicznych. Łatwiej będzie dziecku zrozumieć świat, w którym żyje.
Ćwiczenia rytmiczne sprzyjające dostrzeganiu regularności:
Układamy prosty rytm: O | O |... (kółko, patyk, kółko, patyk). Dziecko obserwuje i dalej powtarza regularność.
Odczytywanie i kontynuowanie rytmu. Dorosły komplikuje nieco zadanie i układa: O || O || ...(kółko, dwa patyki, kółko, dwa patyki). Dorosły czyta początek, dalej dziecko układa rytm.
Kontynuowanie trudniejszych rytmów: O? | O? |... Dorosły czyta początek, dalej poleca układać dziecku. Można podobne ćwiczenia realizować przemiennie.
Wysłuchiwanie i dostrzeganie regularności. Znacznie trudniej jest kontynuować rytm usłyszany. Trzeba go nie tylko dostrzec, ale także zapamiętać. Dorosły zaczyna od prostych i stopniowo je komplikuje np. klaszcze rytmicznie – dziecko kontynuuje rytm, przemiennie klaszcze i uderza dłonią w stół – dziecko powtarza itd..
Ćwiczenia rytmiczne wykonywane ciałem – są trudniejsze, bo wiążą się z pamięcią ruchową i czasem ograniczonymi możliwościami odtwarzania obserwowanych sekwencji ruchowych.
Rytmiczna organizacja czasu – zabawy z tego cyklu są nieco dłuższe i wymagają ze strony nauczyciela systematycznej pracy nawiązującej do różnych sytuacji i zdarzeń, w których dziecko uczestniczy.
Rytmiczna organizacja czasu:
Dzień i noc.
Pory roku.
Dni tygodnia.
Miesiące w roku.
Konstrukcja kalendarzy, którymi posługują się dorośli.
Pomaga w tym rytm pracy przedszkola i wynikający z niego porządek dnia:
w ciągu dnia dzieci o stałych porach przychodzą do przedszkola, spożywają posiłki, leżakują (rano, południe, popołudnie);
w tych samych dniach tygodnia odbywają się stałe zajęcia (np. rytmika, gimnastyka); dni następują po sobie w rytmicznych odcinkach czasu (doba, dzień i noc); nazwy dni, tygodni łączy się z kalendarzem pogody, listą dyżurów, obecności;
w ciągu roku – przemijają kolejne miesiące, dzieci poznają nazwy miesięcy, pór roku, które łączy się z obserwacją otoczenia i zmianami zachodzącymi w świecie ludzi, zwierząt i roślin.
Kształtowanie umiejętności liczenia

Liczenie wywodzi się z rytmu i gestu wskazywania. Kształtowanie umiejętności liczenia trwa wiele lat i powinno przebiegać zgodnie z naturalnym rozwojem umysłowym dzieci. Najpierw dziecko wyodrębnia z otoczenia to, co chce policzyć. Może to uczynić wzrokiem albo gestem "Tu są jabłka", "Po stawie pływają kaczki", "Na tej półce stoją książki" itp..
Potem dotyka lub wskazuje przedmioty i określa je liczebnikami. Często na rytm dotykania nakłada się rytm oddechu i rytm bicia serca, dlatego niektórych przedmiotów dotyka więcej niż jeden raz.
W miarę ćwiczenia dziecko dąży do precyzji. Licząc stara się przestrzegać reguły jeden do jednego: jeden liczony przedmiot, jeden gest wskazujący i jeden wypowiedziany liczebnik. Na pytanie "Ile tu jest ?" – dziecko zaczyna ponownie liczyć, gdyż "ile" na tym etapie rozwoju odnosi się nie do liczebników, lecz do czynności liczenia.
Dorośli nie zdają sobie sprawy, ile ćwiczeń potrzeba, aby dziecko potrafiło określić liczebnikiem ilość policzonych przedmiotów. Dziecko musi wiedzieć, że ostatni wypowiedziany liczebnik ma podwójne znaczenie:
oznacza ostatni liczony przedmiot;
określa liczbę policzonych przedmiotów.
Stosunkowo późno dziecko zaczyna rozumieć, że wynik liczenia nie zależy od tego, czy liczy "od początku" czy "od końca". Ważne jest, aby policzyć wszystkie przedmioty. Do tych prawidłowości liczenia dziecko musi dojść w wyniku samodzielnych doświadczeń. Trzeba zachęcać dziecko do liczenia, pokazywać jak się liczy, liczyć razem z nim, podpowiadać liczebniki itd..
Dodawanie i odejmowanie mieści się w tym, co rozumiemy przez dziecięce liczenie.
Najważniejsze znaczenie ma tu proces odrywania się od konkretów. Można w nim wyróżnić następujące etapy:
1. Dziecko obserwuje, interesuje się bardzo wcześnie czynnościami: dokładania (dosuwania); ubywania (odsuwania i zabierania) i stara się policzyć po każdej takiej zmianie.
2. Kolejny etap związany jest z manipulacją typu: dodać i odjąć. Przy dodawaniu dziecko musi samo dołożyć (dosunąć, zsunąć razem) przedmioty do siebie, aby policzyć. Przy odejmowaniu musi odłożyć (odsunąć, zabrać) przedmioty i policzyć.
3. Osiągnięciem wyższego poziomu umiejętności będzie liczenie na palcach. Na początku mają być ćwiczenia w liczeniu palców. Liczenia na palcach jest niezwykle ważne: pozwala dziecku łatwiej pokonać drogę od konkretów do liczenia w pamięci, a więc do abstrakcji.
4. Następny próg, który dziecko musi pokonać wiąże się z doliczaniem i odliczaniem. Chodzi o to, aby zamiast dążyć do policzenia wszystkich przedmiotów (palców) dziecko mogło tylko doliczyć te dodane lub odliczyć odejmowane. Żeby tak się stało, dziecko musi już ujmować globalnie małe liczebności.
5. Ukoronowaniem jest liczenie w pamięci. Dziecko nie musi już liczyć przedmiotów ani zbiorów zastępczych. Nie potrzebuje także doliczać lub odliczać, aby ustalić wynik dodawania i odejmowania.
Wspomaganie rozwoju operacyjnego rozumowania

Nauczanie matematyki koncentruje się wokół pojęcia liczb naturalnych i działań matematycznych. W przedszkolu jest wiele naturalnych okazji, które można wykorzystać do zadań stawianych przed dzieckiem w zakresie liczenia.
Początkowo dzieci przeliczają przedmioty, którymi manipulują i wymawiają liczebniki z próbą jednoczesnego szeregowania przedmiotów. Jest to jednak często liczenie mechaniczne, bez zachowania kolejności liczb.
Ponadto dzieci mają tendencję do oceniania liczebności zbioru według wielkości przestrzeni, które zajmują elementy zbioru, oraz wielkości samych elementów należących do zbioru.
Dla oceny stosunków ilościowych istotna jest liczba przedmiotów w porównywanych zbiorach, a nie przestrzeń i wielkość elementów zbioru. Niezbędne są, więc różnorodne ćwiczenia w porównywaniu, odwzorowywaniu i odtwarzaniu zbiorów. Ćwiczenia te powinny służyć rozwiązywaniu problemów o charakterze praktycznym np. przy rozkładaniu jabłek na talerzykach, piłek lub szarf potrzebnych do ćwiczeń.
Porównywanie czynnościowe (łączenie w pary) pozwala na ustalenie odpowiedniości wzajemnie jednoznacznej i określenie czy w danym zbiorze jest mniej, więcej, czy tyle samo elementów. Działania takie należy prowadzić na zbiorach jednorodnych i różnorodnych. Organizowanie różnorodnych zabaw i ćwiczeń pozwoli na przygotowanie dzieci do nauki o liczbach.
Treść liczby to cechy i stosunki ilościowe, które można wyrazić za pomocą symboli matematycznych: cyfr i znaków =, , +, –.
W przedszkolu zapoznajemy dzieci z dwoma aspektami liczby: kardynalnym – liczba np. pięć może oznaczać zbiór pięciu elementów (moc zbioru) lub piąty z kolei przedmiot w szeregu przedmiotów – jest to aspekt porządkowy. Dla kształtowania pojęcia liczby ważne są również zabawy mające na celu zdobywanie przez dzieci umiejętności porządkowania zbiorów według malejącej i wzrastającej liczby elementów. Punktem wyjścia przy opracowaniu poszczególnych działań na liczbach powinna być własna aktywność czynności na konkretach. Wówczas pojęcia matematyczne, a potem ich abstrakcyjne odpowiedniki – znaki matematyczne, będą zrozumiałe dla dzieci i będą miały konkretne znaczenie.

Rozwijanie umiejętności mierzenia długości

Wprowadzeni dziecka w sens pomiaru należy zacząć do tego, co najbliższe: od własnego ciała. Dobrze jest pomóc dziecku rozdzielić to, co jest od niego większe (wyższe) od tego, co jest mniejsze (niższe). Nie trzeba się obawiać używania określeń: większy – dłuższy – wyższy; mniejszy – krótszy – niższy. W codziennych sytuacjach słowa te nabiorą jednoznacznego sensu dzięki gestom i sytuacji, w której są stosowane.
Dorosły zwraca się do dziecka: stań obok mnie. Popatrz na mnie. Jestem wyższy od ciebie. Zaraz dowiemy się o ile? Zaznaczamy. Po dokonaniu pomiaru wspólnie ustalamy: kto jest wyższy, kto niższy, o ile dorosły jest wyższy, o ile dziecko jest niższe. Po tych ćwiczeniach można już sprawdzić, które przedmioty w pokoju są niższe, mniejsze a które wyższe, większe od dziecka.
Mierzenie krokami i stopa za stopą.
Mierzenie krokami można zrealizować w trakcie spaceru, podczas pobytu w ogrodzie, w lesie. Najpierw wykonuje czynność dorosły, a następnie dziecko. Ten sam odcinek mierzony przez osobę dorosłą wyniósł 5 kroków, a mierzony przez dziecko 13 kroków. Dziecko uświadamia sobie, że wynik pomiaru zależy od stosowanych jednostek.
Mierzenie stopami można przeprowadzić w domu. Dorosły określa odległość, którą mierzymy i pokazuje sposób mierzenia (stopa za stopą).
Mierzenie łokciem, dłonią i palcami. Ćwiczenia te mają dziecku uświadomić potrzebę precyzji pomiaru np. dokonujemy pomiaru długości stołu. Długość stołu wynosi: dwa łokcie, trzy dłonie i trzy palce.
Mierzenie klockiem, patykiem, sznurkiem.Stopniowo dzieci zapoznają się z narzędziami pomiaru długości, którymi posługują się dorośli jak: miarka krawiecka, stolarska, taśma miernicza, linijka szkolna oraz dokonują prób mierzenia długości.
Klasyfikacja

W otoczeniu występuje wiele przedmiotów, które tworzą zbiory. Pierwsze zbiory związane są oddzielnie ze wspólną nazwą, dzieci układają np. piłki, klocki, lalki, samochody itp.. Porządkują zabawki i przedmioty w sposób naturalny. Tworzenie zbiorów i podzbiorów odbywa się w sposób zabawowy, potem przyjmuje formę zadaniową (nauczyciel nie posługuje się określeniami matematycznymi). W wyniku porządkowania zbiorów następuje ich naturalna klasyfikacja. Działaniom tym sprzyja wiele naturalnych sytuacji występujących w codziennym życiu dziecka, w czasie których dostrzega ono różne właściwości przedmiotów i według nich dokonuje podziału na kategorie.
W tworzeniu zbiorów uwzględnia się wiele cech jakościowych takich jak: nazwa, przeznaczenie, sposób użytkowania, barwa, kształt, wielkość, długość, szerokość, wysokość, ciężar, grubość i wiele innych.
Do porównywania różnych właściwości przedmiotów dziecko włącza umiejętność spostrzegania, obserwowania, uwagę i pamięć. W czasie porównania przedmiotów występuje analizowanie. Pojawiają się coraz bardziej złożone czynności umysłowe, które są podstawą kształtowania pojęć. W grupach dzieci starszych (5, 6 letnich) występują już próby tworzenia zbioru na podstawie pojęcia ogólnego, do którego należą przedmioty mające cechy wspólne, charakterystyczne dla danej grupy. Najpierw dziecko przyswaja pojęcia w oparciu o cechy charakterystyczne przedmiotów (lub zjawisk) a przy końcu wieku przedszkolnego (i w okresie szkolnym) tworzy pojęcia na podstawie cech istotnych np. cechą istotną ogólnego pojęcia "zegary", jest odmierzanie czasu.

Układanie i rozwiązywanie zadań arytmetycznych

Zadania tekstowe, nazywane także zadaniami z treścią często sprawiają kłopoty uczniom, rodzicom a nawet nauczycielom. Jednak nauczanie matematyczne bez nich jest niemożliwe. Każde zadanie składa się z historyjki, która nawiązuje do dziecięcych życiowych doświadczeń. Kończy się ona pytaniem. Odpowiedź jest możliwa po przeanalizowaniu informacji zawartych w historyjce. Są to wielkości dane i niewiadome.
Dzieciom często wydaje się, że rozumieją zadanie, bo historyjka dotyczy znanej im sytuacji. Jednak, gdy dotkniemy pytania końcowego zaczynają się kłopoty. Trzeba z historyjki wybrać istotne informacje. Dziecko musi więc umieć dokonać selekcji.
Sporo zadań wymaga także, aby sięgnięto do swej wiedzy i uzupełniono zadanie np. "Na parkingu stoją 2 motocykle, 2 samochody osobowe, jeden czerwony i jeden niebieski. Ile kół mają te pojazdy? Żeby rozwiązać to zadanie dziecko musi wiedzieć ile kół ma samochód osobowy i motocykl. Natomiast informacja o kolorze samochodów jest bez znaczenia.
W trakcie rozwiązywania zadania przechodzi się z sytuacji życiowej do matematyki i z powrotem. Zawarte w historyjce informacje są przedstawione językiem potocznym, a rozwiązania mają postać matematyczną. np. Mama kupiła 5 jabłek i 4 gruszki.
Ile owoców kupiła mama?
5 + 4 = 9
Po obliczeniu sumy dziecko musi wrócić do opisanej w zadaniu sytuacji życiowej i odpowiedzieć pełnym zdaniem: Mama kupiła 9 owoców.
Aby rozwiązać zadanie dziecko musi:
skupić się;
uważnie wysłuchać;
zapamiętać je;
odtworzyć;
wyłuskać ważne informacje;
napisać rozwiązanie;
obliczyć;
wrócić do historyjki;
odpowiedzieć na pytanie.
Bardzo kształcące jest układanie zadań przez dziecko. Należy je zachęcać i stopniowo wprowadzać w sztukę układania i rozwiązywania zadań z treścią.

Zapoznanie dzieci z wagą i sensem ważenia

Ważenie podobnie jak pomiar długości jest potrzebną umiejętnością życiową .Realizacja tego zagadnienia wiąże się z organizowaniem zabaw i zajęć, w których dzieci mogą samodzielnie manipulować przedmiotami, porównywać je i oceniać ich ciężar (masę). Chcąc określić ciężar dziecko musi go "czuć’ wyważając w rękach – taka ocena jest możliwa przy wyraźnych różnicach ciężaru.
Dokładniejszej oceny dokona dziecko za pomocą wagi szalkowej. Zabawy z wagą pozwolą porównać ciężar przedmiotów i określić, co jest cięższe, lżejsze lub waży tyle samo. Można też dokonywać porównania ciężaru więcej niż dwóch przedmiotów. Dzieci porównując je między sobie mogą je szeregować do najcięższego do najlżejszego i odwrotnie.
Stwarzając wiele okazji do oceny ciężaru przedmiotów, najpierw "na oko", a później za pomocą wagi szalkowej doprowadzamy do zrozumienia, że masa przedmiotu nie zawsze zależy od jego wielkości, ale także do materiału, z którego został zbudowany. Dzieci mają również kontakt z tymi pojęciami w życiu codziennym towarzysząc dorosłym przy zakupach. Te codzienne doświadczenia są dla nich bardzo cenne i ułatwiają odczuwanie oraz określanie pojęć związanych z ciężarem.

Mierzenie płynów

Zapoznając dzieci z pojęciem pojemności naczyń należy umożliwić im samodzielne eksperymentowanie, porównywanie, ocenianie pojemności – najpierw "na oko", a potem przez przelewanie płynów lub przesypywanie ciał sypkich za pomocą zestawu pojemników (najlepiej przeźroczystych) o różnych wielkościach i kształtach.
Ciekawym doświadczeniem może być umożliwienie zabawy z wodą i piaskiem w ogrodzie przy piaskownicy. Można do tego wykorzystać różnej wielkości foremki, naczynia, wiaderka, małe baseny. Bardzo ważna jest przy tym rozmowa. Skierowanie uwagi dzieci we właściwe miejsce, skłanianie do namysłu, porównanie i wyprowadzenie wniosku. Sam kontakt z wodą nie wystarczy. Potrzebne jest słowne wspieranie dziecięcego poznania, aby były z tego korzyści intelektualne.

Intuicje geometryczne

Kształtowanie w umysłach dzieci pojęć, także geometrycznych trwa stosunkowo długo i odbywa się na zasadzie stopniowych przybliżeń. W przypadku pojęć geometrycznych ważne są osobiste doświadczenia dzieci: manipulacje pozwalające porównywać przedmioty, dostrzegać i koncentrować się na cechach podobnych i nazywać je. Dzięki nim intuicyjne rozumienie sensu staje się bardziej precyzyjne i dziecko może już słowami uzasadnić, że dana nazwa określa obiekty podobne, że są one różne od innych, inaczej nazywanych. Wynika z tego, że dzieci budują swoją pojęciową wiedzę przechodząc od konkretnych doświadczeń, do uogólnienia.
Nie wystarczy dziecku pokazać np. trójkątną płytkę albo narysować trójkąt, a potem podać definicję. Dla uświadomienia sobie sensu pojęcia "trójkąt" dziecko potrzebuje wielu różnorodnych doświadczeń. Musi obserwować, dotykać, przesuwać, obracać, zmieniać kształt itp.. Z tego wszystkiego dziecięcy umysł wyodrębnia to, co najważniejsze. Trzeba jednak pamiętać, że kształtowanie pojęć geometrycznych nie odbywa się w izolacji od innych pojęć tworzonych wówczas w umyśle dziecka.
Dziecko:
• rozpoznaje dany kształt i jego podstawowe cechy równolegle do ustalenia cech koloru, smaku, czy liczebności zbiorów;
• uczy się posługiwać słowami: kwadrat, trójkąt, sześcian, kula itp. w trakcie opisywania kształtu przedmiotów;
jednocześnie jest wdrażane do posługiwania się słowami, które pozwalają porównywać: dłuższy, krótszy, wyższy, niższy itp.;
• wiąże każdy wyodrębniony kształt ze znanymi rzeczami, gdyż nie akceptuje jeszcze np. "trójkąta" jako samodzielnego pojęcia.
Konstruowanie gier przez dzieci i dla dzieci

Uczeniu się zawsze towarzyszy pokonywaniu trudności. Człowiek dysponuje odpornością emocjonalną na pokonywanie trudności. Jaka jest ta odporność w dużej mierze zależy od temperamentu i innych cech układu nerwowego. Odporność emocjonalną można kształtować zwłaszcza u dzieci. Odbywa się to w trakcie wychowania, a także poprzez specjalne ćwiczenia, które rozwijają u dzieci zdolność do wysiłku umysłowego w sytuacjach trudnych i pełnych napięć. Muszą być one jednak dopasowane do możliwości dziecka tak, aby potrafiło je samodzielnie pokonać.
Do hartowania odporności emocjonalnej u dzieci nadają się gry. Trudno jednak dopasować grę kupioną w sklepie do możliwości dziecka. Z tego powodu dobrze jest nauczyć dzieci sztuki konstruowania gier.
Na początku dzieci muszą uchwycić sens gry: umowność ścigania się na planszy, przemienne rzucanie kostką i przesuwanie pionków. Ważne jest, aby zrozumiały, że w trakcie ścigania się obowiązują reguły i trzeba ich bezwzględnie przestrzegać. Do każdej gry – odpowiadania trzeba opracować nową planszę i ustalić nowe reguły.
Konstruowanie gier odbywa się przemiennie. Pierwszą grę z danej serii buduje dorosły, dziecko pomaga, a potem razem ją rozgrywają. Następną grę układa dziecko, dorosły wspiera, służy pomocą, podpowiada. Taka przemienność sprzyja uczeniu się i rozwija twórcze zdolności dziecka.
Każda gra – to opowiadanie. Schemat jest podobny: po wytyczonej trasie ścigają się osoby, pojazdy itp., przygody w każdej grze są inne, chociaż wszystkie mają cechy pułapek i premii. Gry – opowiadania należą do gier planszowych. Plansza, to zapis opowiadania. Ponieważ 6-latki nie piszą tekstu, mogą posłużyć się rysunkiem lub obrazkiem.
Do gier potrzebna jest kostka. Mogą to być gry – opowiadania np. "Dwa wesołe zajączki, ścigają się do pola z kapustą", "Rajd Safari", "Wesołe pieski wracają do domu" i inne.
Gry – opowiadania sprzyjają kształtowaniu sprawności manualnych, koordynacji wzrokowo-ruchowej, rozwijają mowę dziecka oraz umiejętność liczenia.
Następny etap to gry o rozbudowanym wątku matematycznym. Na początku tego etapu będą gry z otoczką beletrystyczną, ale w każdej następnej grze mniej będzie opowiadań i zwiększy się zakres czynności matematycznych. Pułapki i premie, które miały dotąd postać przygód, teraz wymagają:
ustalenia równoliczności, a także określenia, gdzie jest więcej i o ile więcej; gdzie jest mniej i o ile mniej;
doliczania i odliczania;
dostrzegania korzyści;
podwajania lub rozdzielania po kilka;
rysowania schematów graficznych;
układania po kolei, numerowania.
Przykładem gry o wątku matematycznym może być gra: "Zbieramy owoce w sadzie", "Rozdajemy prezenty".

Zapisywanie czynności matematycznych

Zapisywanie czynności matematycznych z zastosowaniem różnych symboli sprawia dzieciom spore trudności. Stosowanie symboli wymaga oderwania się od konkretów, co łączy się z operacyjnym rozumowaniem. Jeżeli dzieci potrafią porównywać zbiory, ustalać gdzie jest więcej, a gdzie mniej, nie sprawia im kłopotów ustawianie przedmiotów w pary; można zrobić krok naprzód i wprowadzić je w sposoby zapisywania wyniku takich czynności.
Dorosłym wydaje się, że najtrudniej zapamiętywać dzieciom, w którą stronę trzeba skierować znak '<', aby pokazywał, gdzie jest więcej lub mniej. Tymczasem trudności wynikają z błędnego tłumaczenia przez dorosłych np. wyjaśnia się dzieciom, że są dwa odrębne znaki '>'.
W zapisie wygląda to jednak tak:
5> 3 lub 3 .
Dzieci lubią zadania – zagadki, które można przemiennie układać i rozwiązywać:
dorosły układa zadanie – zagadkę, dziecko ją odczytuje i poprawia, i znowu odczytuje;
dziecko układa zadanie – zagadkę dla dorosłego, on ją odczytuje i rozwiązuje.
Przygotowując sześciolatka do nauki w szkole nie trzeba uczyć go pisania. Należy usprawnić jego ręce i rozwijać spostrzegawczość. Ważne jest jednak, aby rozumiało to, co będzie zapisywało w szkole. Idąc do szkoły dziecko powinno liczyć, dodawać, odejmować w pamięci do 10, a w trudniejszych wypadkach pomagać sobie liczeniem na palcach. Ważne jest także myślenie operacyjne. Sukcesy na lekcjach matematyki zależą od tego, czy dziecko potrafi rozumować operacyjnie na poziomie konkretnym.