Pojęcie ułamka jako wyniku podziału całości na części

Szkoła Wyższa im. Pawła Włodkowica
w Płocku
Instytut Kształcenia Podyplomowego
Kierunek: Matematyka

Pojęcie ułamka jako wyniku podziału całości na części w nauczaniu Szkoły Specjalnej

mgr Sylwia Micor

Praca dyplomowa napisana pod kierunkiem
Dr. Anny Żeromskiej

Płock 2014

Spis treści

Wstęp 3
Rozdział 1
Proces nauczania matematyki. Rola zadań w nauczaniu matematyki i ich klasyfikacja 4
Rozdział 2
Propozycja wprowadzenia pojęcia ułamka jako części całości. 7
Zakończenie 13
Bibliografia 15

Wstęp

Największym szczęściem rodziców jest zdrowe dziecko. Zdarza się jednak, że pojawiają się przeszkody uniemożliwiające lub utrudniające prawidłowy rozwój człowieka.
Matematyka jest przedmiotem, który nastręcza wielu osobom trudności w zdobywaniu wiadomości i umiejętności w zakresie jej treści. Wielu uczniów, także zdrowych, ma trudności w jej zrozumieniu i zapamiętaniu.
Kształtowanie pojęć matematycznych u dzieci niepełnosprawnych bywa utrudnione. Dlatego istotną rzeczą w nauczaniu matematyki jest nie tylko rzeczowe i merytoryczne przygotowanie nauczyciela przedmiotu, ale również stosowanie przez niego specjalnych metod i technik, dostosowanych do poszczególnych rodzajów niepełnosprawności. Nauczanie matematyki w szkolnictwie specjalnym powinno zatem opierać się o wiadomości elementarne, użyteczne w życiu codziennym. Ponadto, w konstruktywnym myśleniu, istotn?

rolę w nauczaniu matematyki spełnia nauczyciel terapeuta (rewalidator), który usprawnia nie tylko funkcje najbardziej zaburzone, ale również utrwala wiadomości i wyrównuje braki
w zakresie materiału nauczania.
Niniejsza praca dotyczy podejmowania działań stymulujących funkcje poznawcze
w zakresie myślenia abstrakcyjnego. Punktem wyjścia dla oddziaływań matematycznych, szczególnie wobec dzieci z zaburzonym rozwojem funkcji intelektualnych jest uwzględnienie wieku rozwojowego, a nie wieku życia. Prawidłowe zrozumienie treści matematycznych pozwala też na lepsze funkcjonowanie osobiste i społeczne.
W swojej pracy skupiam szczególnie uwagę na treściach i zadaniach dotyczących działań na ułamkach stosownie do stopnia upośledzenia umysłowego uczniów oraz ich indywidualnych możliwości.
W I rozdziale skupiłam się na procesie uczenia matematyki.
W rozdziale II przedstawiłam propozycje wprowadzania pojęcia ułamka podczas jednostki lekcyjnej z uczniami o obniżonej sprawności intelektualnej.

Rozdział 1

Proces nauczania matematyki.

To, co musiałeś odkryć samodzielnie, zostawia w twym
umyśle ścieżkę, którą w razie potrzeby możesz pójść
jeszcze raz.1

Powyższy cytat został zaczerpnięty z książki M. Szurka O nauczaniu matematyki (Szurek M., 2005, tom 3, str. 18). Autor umieścił go nad rozdziałem poświęconym zasadzie świadomego i aktywnego uczestniczenia w procesie nauczania. Autor tejże książki zachęca nauczycieli do ożywiania i pobudzania zainteresowań uczniów, ale w taki sposób, żeby mogli sami pokonywać trudności. W dzisiejszych czasach samodzielność pracy uczniów realizuje się przez stosowanie metod heurystycznych, które opiszę w dalszej części. A co
z aktywnością uczniów? Jak podaje M. Szurek w niniejszej książce: Metod rozwijania aktywności uczniów jest oczywiście bardzo wiele. W praktyce pedagogicznej wyczuwamy je intuicyjnie (Szurek M., 2005, tom 3, str. 19). Następnie przytacza kilka metod za
K. Skurzyńskim:
Rozwijanie aktywności przez modyfikację zadań;
Wzbogacanie wiedzy matematycznej przez modyfikację zadań;
Wprowadzanie nowych pojęć i twierdzeń przez rozwiązywanie zadań;
Rozwijanie aktywności przez rozszerzanie zadań;
Rozwijanie aktywności przez kontrastowanie pojęć;
Rozwijanie aktywności przez zmianę sformułowań ze statystycznych na dynamiczne
i odwrotnie;
Rozwijanie aktywności przez łączenie i przeciwstawianie operacji i operacji odwrotnej;
Rozwijanie aktywności przez stosowanie analogii;
Rozwijanie aktywności przez rozwiązywanie zadań różnymi metodami.
A. Z. Krygowska w Zarysie dydaktyki matematyki pisze, iż racjonalne utrwalenie materiału nauczania wymaga aktywnego i świadomego udziału ucznia w tym procesie (Krygowska A.Z.: 1977, tom 2, str. 3). Dlaczego tak jest? Ponieważ rozwój aktywności matematycznej ucznia jest najważniejszym celem nauczania matematyki. Jeżeli będziemy dbać
o systematyczne utrwalanie materiału ucznia, to umożliwiamy tym samym aktywny udział ucznia w procesie nauczania (Krygowska A. Z.: 1977, tom 2, str. 4). Autorka podaje kilka punktów, które powinno gwarantować nauczanie matematyki:
Jasną transmisję gotowej wiedzy, którą uczeń ma sobie w toku uczenia przyswoić;
Dobrze dobrany zestaw ćwiczeń, które uczeń wykonuje dla uzyskania sprawności;
Właściwie skonstruowany układ podstawowych, typowych zadań, które uczeń rozwiązuje dla:
opanowania pewnych schematów;
zdobycia umiejętności wyboru i stosowania odpowiedniego schematu postępowania lub kombinowania kilku takich schematów w celu rozwiązania zadania.
Uczeń podczas aktywnej pracy na lekcji powinien być naprowadzany tak przez nauczyciela, aby odkrywać dokładnie to, co powinno się znaleźć w danym punkcie konstrukcji matematyki szkolnej nauczania (Krygowska A. Z. : 1977, tom 2, str. 5).
U dzieci powinno prowokować się spontaniczną aktywność. Uczniowie powinni wyrobić nawyk spojrzenia wstecz, aby uświadomić sobie popełniane błędy oraz w jaki sposób dojść do sukcesu. Praca w grupie, dyskusje, powracanie do tego samego problemu, przedłużanie problemu to wszystko prowadzi do aktywności matematycznej ucznia. Oczywiście rola nauczyciela jest również istotna ponieważ to on wyzwala proces i pomaga uczniom w ich pracy (Krygowska A. Z. : 1977, tom 2, str. 7). A. Z. Krygowska w dalszej części swojej pracy zwraca uwagę, że ucznia powinno stawiać się wobec problemów, które są źródłem rozwiązania – zamiast podawać gotowe rezultaty. Autorka w swojej pracy umieściła główne problemy odnoszące się do procesu nauczania:
Poszukiwanie możliwie najbardziej efektywnych sposobów i środków postępowania dydaktycznego przy organizowaniu każdego z rodzajów aktywności ucznia (m.in. przejmowanie i asymilowanie matematycznej wiedzy, ćwiczenie podstawowych elementarnych sprawności matematycznych, rozwiązywanie typowych zadań
z zastosowaniem podstawowych metod matematycznych, redagowanie, ilustrowanie schematami, definiowanie nowych dla ucznia pojęć, ...);
Poszukiwanie optymalnego, ze względu na cele nauczania matematyki, stosunku transmisji matematycznej wiedzy i matematycznej metody do twórczego doświadczenia ucznia i jego swobodnej aktywności matematycznej.
Poszukiwanie sposobów zharmonizowania tych wszystkich rodzajów aktywności ucznia i takiego ich zorganizowania, aby się one wzajemnie uzupełniały i wzmacniały w naturalnym i skutecznym procesie uczenia się.

Powyższe założenia w nabywaniu przez uczniów gotowości uczenia się i zdobywania wiadomości matematycznych nabierają szczególnego znaczenia w stosunku do dzieci, których możliwości zdobywania wiedzy ogólnie są ograniczone deficytami intelektualnymi. Dotyczy to wszystkich funkcji poznawczych, a zwłaszcza umiejętności myślenia abstrakcyjnego, nieudolności syntetyzowania i wiązania treści w logiczne całości. Ponieważ dzieci z upośledzeniem umysłowym z wielką trudnością tworzą pojęcia – ich czynność umysłowa ogranicza się raczej do odtwarzania wyobrażeń. Zdaniem E. Szurek (1976; za: Minczakiewicz E. M. ,1997, str.161) dzieci upośledzone umysłowo w stopniu lekkim cechuje zwolnione tempo pracy, brak samodzielności, pomysłowości i przemyślanego planu działania takiego stopnia jak u dzieci prawidłowo rozwiniętych. Wymagają one nadzoru, gdyż z chwilą wystąpienia trudności łatwo załamują się, rezygnują, wycofują się.

Niniejsza praca w głównej mierze oparta jest na efektach rozwiązywania zadań praktycznych przez uczniów z deficytami intelektualnymi podczas wprowadzania pojęcia ułamka jako części całości. Postaram się przedstawić fragmenty lekcji w oparciu o historyjkę o podziale pizzy zamieszczoną w książce O nauczaniu matematyki (pod red. J. Żabowskiego.: 2011, str. 284 ).

Rozdział 2

Propozycja wprowadzenia pojęcia ułamka jako części całości

W życiu codziennym cały czas posługujemy się ułamkami. Stanowią one nieodzowny element naszego życia. Dlatego tak ważne jest, aby dzieci zrozumiały pojęcie ułamka jako podziału całości na części. Najlepszym sposobem jest przełożenie matematyki na konkretne działania z życia wzięte.
Wprowadzając pojęcie ułamka warto przygotować wiele pomocy dydaktycznych, takich jak: czekolada, pizza, jabłko, pomarańcza, baton. Dla uczniów lekcja będzie nie tylko wprowadzeniem nowych określeń, ale także spojrzeniem na matematykę z perspektywy codziennych czynności. A nauczanie dzieci niepełnosprawnych intelektualnie ma na celu przygotowanie ich do jak najbardziej samodzielnego funkcjonowania w społeczeństwie. Musimy w trakcie lekcji uczniów dzielić na różnoliczne grupy - nie ograniczając się do parzystej ilości. Uczniowie dzieląc poszczególne przedmioty uczą się pojęcia ułamka. W trakcie lekcji prowadzimy dyskusję na temat podziału i co jest wynikiem tego podziału. Poniżej zamieszczam schemat lekcji matematyki.
Prosimy, aby uczniowie dobrali się parami i każdej parze dajemy jabłko. Prosimy
o sprawiedliwy podział. Przeprowadzamy dyskusje: Ile kawałków jabłka jest po podziale? Ile każdy ma kawałków przed sobą? Podsumowujemy: Każdy ma jeden kawałek z dwóch. Tłumaczymy, ze dokonaliśmy podziału na dwie części lub na połowy. Prosimy uczniów
o dobranie się trójkami i prosimy o podział batonika. Znowu przeprowadzamy z uczniami rozmowę i podsumowujemy, ze każdy z nich ma 1 kawałek z 3. Prosimy uczniów o dobranie się czwórkami. Każdej grupie rozdajmy pizzerkę i prosimy o podział. Po kolejnej dyskusji podsumowujemy, że każdy z nich ma 1 kawałek z 4. Prosimy o ile będzie to możliwe, aby uczniowie dobrali się szóstkami. Rozdajemy każdej grupie tabliczkę czekolady i prosimy uczniów, aby podzielili się sprawiedliwie. Każdy z uczniów powinien otrzymać 4 kostki czekolady. Przeprowadzamy z uczniami dyskusję: Ile było wszystkich kostek? Ile otrzymał każdy z Was kostek? Podsumowując mówimy uczniom, że każdy z nich ma 4 kostki z 24.
Na zakończenie pozwalamy uczniom na konsumpcję „pomocy dydaktycznych”. Pierwsza lekcja nie powinna zawierać wprowadzenia zapisu ułamka. Podczas pierwszej lekcji nie skupiamy się na zapisie formalnym ułamka. Na to przyjdzie czas na następnych lekcjach. Ważne jest, aby uczniowie zrozumieli, że licznik liczy, a mianownik określa na ile części podzieliliśmy całość. Na późniejszym etapie przy wprowadzaniu działań na ułamkach będziemy odwoływać się do podziałów jakich dokonali uczniowie na pierwszych zajęciach. Dla uczniów wchodzących w świat ułamków ważne jest aby zrozumieli czym tak naprawdę jest ułamek i uświadomili sobie jak często w życiu posługujemy się nimi.

Drugą lekcję warto zacząć od przypomnienia uczniom dyskusji, które prowadziliśmy po każdym podziale. Następnie na tablicy warto zilustrować podział jabłka oraz rozdać uczniom karty pracy przedstawiające ten podział:

Zeszyt ćwiczeń, Matematyka zeszyt 2, B. Gacek i E. Jaskowska, WSiP, 2000, str. 70 i 71

Zeszyt ćwiczeń, Matematyka zeszyt 2, B. Gacek i E. Jaskowska, WSiP, 2000, str. 72

Analogicznie postępujemy z pozostałymi podziałami.

Zeszyt ćwiczeń, Matematyka zeszyt 2, B. Gacek i E. Jaskowska, WSiP, 2000, str. 75
Zeszyt ćwiczeń, Matematyka część 2, B. Gacek i E. Jaskowska, WSiP, 2003, str. 93

Podczas rozwiązywania wspólnie kart pracy wprowadzamy zapis ułamka. Objaśniamy uczniom, że kreska ułamkowa jest symbolem podziału. Mówimy, że w liczniku (lub używamy sformułowania nad kreską – w zależności od poziomu uczniów) zamieszczamy liczbę, która symbolizuje ilość jaką każdy z nich otrzymał po podziale, a w mianowniku (pod kreską) mamy liczbę wszystkich kawałków. Aby utrwalić zagadnienie rozwiązujemy kolejne karty pracy:

Zeszyt ćwiczeń, Matematyka część 2, B. Gacek i E. Jaskowska, WSiP, 2003, str. 95

Zeszyt ćwiczeń, Matematyka część 2, B. Gacek i E. Jaskowska, WSiP, 2003, str. 98

Na następnym etapie zapoznajemy uczniów z ułamkami o dowolnym mianowniku. Oczywiście znowu posługujemy się kartami pracy, które nawiązują do pierwszej lekcji, czyli pokazują uczniom ułamek jako podział całości na części. Bardzo ważne jest, aby cały czas przypominać uczniom o pierwszej lekcji.

Matematyka 6,zeszyt 1 H. Siwek, WSiP, 2005, str. 84 i 85

Matematyka 6,zeszyt 1 H. Siwek, WSiP, 2005, str. 87

Matematyka 6,zeszyt 2 H. Siwek, WSiP, 1997, str. 86

Ostatnie zadanie wprowadza uczniów do dodawania i odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku. Można na taką lekcję przynieść tabliczki czekolady i podzielić je np. na 4 osoby, a następnie prosić uczniów o przekazywanie sobie kostek i wyliczanie: Ile miałeś? Ile masz? Jaka to część całej tabliczki? I można wprowadzić uczniom zapis działań na tablicy. Bardzo ważne są odniesienia do życia codziennego, które pozwalają uczniom zbliżyć się do matematyki. Po takich czynnościach znowu pracujemy z kartami pracy.

Matematyka 6,zeszyt 1 H. Siwek, WSiP, 2005, str. 88

Matematyka 6,zeszyt 2 H. Siwek, WSiP, 1997, str. 86

Matematyka 6,zeszyt 2 H. Siwek, WSiP, 1997, str. 89

Istotną rolą takich lekcji jest uświadomienie uczniom jak często korzystają z ułamków oraz wizualizacja podstawowych działań na ułamkach. Oczywiście w pracy zamieszczam tylko fragmenty przykładowych kart pracy. Ich ilość dobieramy do poziomu każdego ucznia indywidualnie. Dalsze rozszerzanie wiadomości o ułamkach również jest sprawą indywidualną każdego z podopiecznych.

Zakończenie

Opierając się na założeniach teorii Piageta, iż rozwój dziecka, a zwłaszcza jego gotowość do uczenia się jest zapewniona tylko wtedy, gdy doznaje ono bodźców podczas codziennych czynności. ( J. Piaget, 1993) .
W związku z tym, że większość umiejętności dziecko nabywa na konkrecie, dlatego ważne jest wykorzystywanie każdej sytuacji, zarówno w domu, jak i poza nim, celem dostarczenia mu różnorodnych bodźców.
Kształcenie matematyczne uczniów upośledzonych umysłowo jest problemem bardzo złożonym. Z przeprowadzonych badań wynika, że uczniowie niepełnosprawni wykazują specyficzne problemy w nauczaniu matematyki. Problemy te wynikają z abstrakcyjnego charakteru pojęć matematycznych. Myślenie abstrakcyjne u osób upośledzonych umysłowo jest znacznie utrudnione. W tym przypadku uzależnione jest ono od ograniczeń możliwości rozwoju w sferze intelektualnej. Istotne jest, aby kształtowanie pojęć matematycznych, badanie zależności między nimi, systematyzowanie nabytej wiedzy oraz osiąganie sprawności operowania tymi pojęciami było ściśle powiązane z zagadnieniami praktycznymi. Zdobywana wiedza nie może być czymś wyizolowanym i wyimaginowanym.
Trudności matematyczne uczniów niepełnosprawnych intelektualnie bywają często przyczyną niepowodzeń w nauczaniu matematyki. Dlatego istotne jest, by umieć pomóc dziecku przezwyciężyć wszelkie porażki, dostosowując program nauczania, metody i formy pracy na lekcji do potrzeb i możliwości dziecka. Analiza problematyki kształcenia matematycznego uczniów niepełnosprawnych nasuwa następujące wnioski:
Wybór szkoły dla dziecka powinien być uzasadniony dobrem dziecka.
Program nauczania powinien być dostosowany do możliwości i potrzeb dziecka.
Odpowiedni dobór metod, form i zasad pracy na lekcjach matematyki z uczniem niepełnosprawnym pozwala na uzyskanie lepszych efektów.
Uwzględnienie ograniczeń możliwości dziecka pozwala na lepsze zrozumienie jego funkcjonowania. Podnoszenie wiary we własne możliwości pomaga uczniowi przełamywać napotkane trudności.
Niniejsze opracowanie stanowiło dla mnie nowe doświadczenie nie tylko jako pedagoga pracującego na co dzień z dziećmi upośledzonymi intelektualnie, ale początkującego matematyka. I choć praca z tymi dziećmi nie jest łatwa z uwagi na ograniczone możliwości myślenia abstrakcyjnego, to jednak wciąż mobilizują mnie do dalszych działań słowa prof. B. Rocławskiego : „Efekty tej pracy zaświadczać będą o tym, na ile my jesteśmy warci. Człowiek jest tyle wart, ile może dać dobra drugiemu”. (Waszczuk 2005, s. 5)

Bibliografia
1. Gacek B., Jaskowska E.: 2000, Matematyka 4 część 2, Wydawnictwo Szkolne
i Pedagogiczne, 70-75.
2. Gacek B., Jaskowska E.: 2003, Matematyka 4 część 2, Wydawnictwo Szkolne
i Pedagogiczne, 93, 95, 98.
3. Minczakiewicz E.M.: 1997, Mowa, rozwój, zaburzenia, terapia,Wydawnictwo Naukowe WSP, Kraków, 161
4. Krygowska A.Z.: 1977, Zarys dydaktyki matematyki część 2, Wydawnictwo Szkolne
i Pedagogiczne, Warszawa.
5. Piaget J., 1993, Psychologia dziecka, tłum. Zakrzewska Z., Wydawnictwo Siedmiogród .
6. Siwek H.: 1997, Matematyka 6 zeszyt 2, Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne,
86, 89.
7. Siwek H.: 2005, Matematyka 6 zeszyt 2, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 84-88.
8. Szurek M.: 2005, O nauczaniu matematyki, tom 1-8, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk.
9. Waszczuk H.: 2005, Poradnik Logopedyczny dla rodziców dzieci z Zespołem Downa, GLOTTISPA, Gdańsk, 5
10. pod red. Zabowskiego J.: 2011, O nauczaniu matematyki, Oficyna Wydawnicza Szkoły Wyższej im. Pawła Włodkowica w Płocku – Wydawnictwo naukowe NOVUM, Płock.