Skok wzwyż jako rzut ukośny

Przykładem ruchu krzywoliniowego ze stałym przyspieszeniem jest rzut ukośny, Jest to dwuwymiarowy ruch ciała rzuconego pod kątem do poziomu. Przykłady tego rodzaju ruchu można mnożyć: jest to ruch piłki do gry w golfa, w tenisa lub w siatkówkę (przy pominięciu oporu powietrza) Skok wzwyż również możemy rozpatrywać jako rzut ukośny.
Rzut ukośny ciała jest ruchem o stałym przyspieszeniu (g) skierowanym w dół, jest on więc opisany przez równania opisane w tablicy 1.
Tablica 1. Ruch ze stałym przyspieszeniem na płaszczyźnie xy (według D.Halliday, R. Resnick2)

Numer równania Równanie opisujące ruch wzdłuż osi x
2.1a Vx = Vxo + axt
2.1b X = Vo + ( Vxo + Vx ) t
2.1c X = Xo + Vxot + axt²
2.1d Vx = Vxo² + 2ax ( x – xo)
Numer równania Równanie opisujące ruch wzdłuż osi y
2.1e Vy = Vyo + ayt
2.1f Y = Yo + ( Vyo +Vy ) t
2.1g Y = Yo + Vyot + ay t²
2.1h Vy² = Vyo² + 2ay ( y – yo )

Przyspieszenie nie ma składowej poziomej. Jeżeli więc wybierzemy taki układ współrzędnych, w którym oś y jest skierowana w górę , będziemy mogli przyjąć, że ay = - g oraz ax = 0
Przyjmijmy ponadto, że początek naszego układu współrzędnych pokrywa się z punktem z którego wylatuje ciało (wyskakuje skoczek). Przy takim wyborze początku układu w równaniach podanych w tablicy 2 – 1 mamy
Xo = Yo = 0.
Prędkość w chwili t = 0, tzn. w chwili gdy ciało zaczyna lot (skok),
jest równa Vo i tworzy kąt (α) z dodatnim kierunkiem osi x. Składowe x i y
prędkości Vo są równe:
Vxo = Vocosα (2.2)
i Vyo = Vosinα (2.3)
Ponieważ nie ma poziomej składowej przyspieszenia, pozioma składowa prędkości zachowuje swoją stałą wartość podczas skoku.
Jeżeli w równaniu 2.1a podstawimy ax = 0 i Vxo = Vocosα, otrzymamy
Vx = Vocosα (2.4)
Pozioma składowa prędkości zachowuje swoją początkową wartość w ciągu całego lotu – skoku. Pionowa składowa prędkości zmienia się z czasem zgodnie z równaniem 2.1e opisującym ruch pionowy do góry ze stałym przyspieszeniem skierowanym w dół. Jeżeli w równaniu tym podstawimy ay = -g oraz:
Vyo = Vosinα, otrzymamy
Vy = Vosinα – gt (2.5)
Pionowa składowa prędkości jest taka sama przy spadku swobodnym, bo gdybyśmy rozpatrywali taki ruch z punktu widzenia układu odniesienia poruszającego się w prawo z prędkością Vxo, byłby to ruch ciała rzuconego
pionowo w górę z prędkością początkową Vosinα..
Wartość wypadkowa wektora prędkości w dowolnej chwili czasu wynosi:
V =
Kąt jaki tworzy ten wektor z poziomem, w tej samej chwili czasu jest określony równaniem tgα =
Wektor prędkości jest w każdym punkcie styczny do toru (rys 2). Składowa x wektora położenia ciała w dowolnej chwili czasu, otrzymana z równania
2.1g, w którym przyjeliśmy Xo = 0, ax = 0 i Vxo = Vo cosα , jest równa
X = ( Vo cosα ) t (2.6)
Natychmiast składowa y, otrzymywana z równania 2.1f, w którym przyjeliśmy yo = 0 , ay = - g oraz Vyo = Vosinα, wynosi
y = ( Vosinα ) t – gt² (2.7)
Równania (2.1c i 2.1g ) przedstawiają x i y jako funkcje wspólnego parametru t,
czasu lotu. Łącząc te równania i eliminując z nich czas, otrzymujemy zależność

y = (tgα)x- (2.8)
Zależność ta wiąże ze sobą x, y i jest równaniem toru lotu. Ponieważ Vo, α
i g są wielkościami stałymi jest to równanie typu:
y = b c – c x² czyli równanie paraboli.
Rysunek 2. Tor lotu skoczka
Y V
V
Vy Vx
Vx V
Vy

Vyo
Vo

α
Vxo X
R

Na rysunku 2. przedstawiono prędkość początkową Vo, oraz jej składowe,
a także prędkość V (oraz jej składowe) w trzech późniejszych chwilach czasu.
Odległość (R) nazywamy zasięgiem poziomym rzutu.
Obliczmy czas lotu skoczka. Skoro prędkość końcowa (Vk = 0),
to Voy = gt. W takim razie t = Voy : g i podstawmy tu wzór 2.3, to otrzymamy
t= (2.8)
Wysokość maksymalną ( Hmax ) – wysokość skoku wzwyż – najważniejszą wartość w tej konkurencji lekkoatletycznej obliczymy podstawiając do równania 2.7 równanie 2.3 i 2.8, otrzymamy wtedy:

H max = ·

H max = (2.9)

Zasięg rzutu ukośnego (skoku wzwyż) (R) obliczymy biorąc pod uwagę składową poziomą lotu (x), stąd R = Vox t ,gdzie (t), to czas lotu.
Podstawiając tu wzory 2.2 i 2.8 otrzymamy

(2.10)

Na wysokość skoku wzwyż główny wpływ mają dwie składowe –
jak widać ze wzoru 2.9 – Vo, czyli prędkość w chwili odbicia i sin α – czyli kąt
odbicia. Bliżej zajmę się tym zagadnieniem w rozdziale 3. H max jest odwrotnie
proporcjonalne do g, czyli przyspieszenia ziemskiego.
Oprócz tego na wysokość skoku ma wpływ położenie tak zwanego
ogólnego środka ciężkości skoczka – o czym będę pisał w rozdziałach 5.2 i 5.3
Ta wielkość jest pokazana na rysunku numer 3.
Rysunek 3. Wysokość skoku ( Hs ) w skoku wzwyż

Hp

poprzeczka
H l

Hs
Vy

Ho
Vo

Zeskok
α

Vox

Ho – położenie ogólnego środka ciężkości ciała
Hl – wysokość lotu
Hp – wysokość przewyższenia
Hs – wysokość skoku
OSC – położenie ogólnego środka ciężkości ciała

Z powyższego rysunku możemy zapisać wzór na wysokość skoku
w skoku wzwyż.
Hs = Ho + Hl – Hp ( 2.11 )
Gdzie pamiętamy, że Hl, to nasze wcześniej wyliczone Hmax
i jest liczone zgodnie ze wzorem 2.
3. Rzut ukośny przy kącie odbicia 30˚, 45˚, 60˚ i 90˚

Skoro (Hmax) wysokość maksymalna w rzucie ukośnym jest równa

H max = zgodnie ze wzorem 2.9, to rozważmy 4 przypadki rzutu ukośnego dla różnych kątów wyrzutu.
Przyjmijmy standardowe wartości kątowe :

a ) α = 30˚
b ) α = 45˚
c ) α = 60˚
d ) α = 90˚

a) H =
b) H=
c) H=
d) H=

W przypadku d jest to już rzut pionowy w górę. Widzimy, że wraz ze wzrostem kąta odbicia rośnie H max, które przybiera wartość maksymalną dla kąta 90˚, bo wartość maksymalną funkcja sin90 = 1.
Biorąc pod uwagę, że w skoku wzwyż kąt odbicia musi być różny
od kąta 90˚, stwierdzić można, że musi być do tego kąta maksymalnie zbliżony.
Rozpatrując wzór 2.9 na wysokość skoku widzimy, że jest on wprost proporcjonalny do kwadratu prędkości i odwrotnie proporcjonalny do podwojonego przyspieszenia ziemskiego
Biorąc pod uwagę, że kula ziemska jest spłaszczona na biegunach – wskutek ruchu obiegowego i obrotowego Ziemi, przyspieszenie ziemskie jest różne na różnych szerokościach geograficznych.
Tablica 2.Wartości przyspieszenia g na różnych szerokościach geograficznych (według C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman3 )

Stacja Szerokość (˚ ) g, cm/ s²
Biegun Północny 90 983,245
Lodowiec Karajak, Grenlandia 70 982,53
Leningrad 60 981,93
Honolulu 21 978,95
Monrovia, Liberia 6 978,16
Melbourne, Australia 38 979,99