Nauczanie czynnościowe, jako podstawa kształcenia matematycznego

Nauczanie czynnościowe, jako podstawa kształcenia matematycznego

Nauczanie czynnościowe matematyki jest strategią nauczania wynikającą z koncepcji nauczania realistycznego, wg którego „uczniowie powinni budować pojęcia i operacje matematyczne na drodze naturalnej, w sytuacjach dla ucznia sensownych, bliskich jego doświadczeniom. A więc wychodzi ona od sytuacji rzeczywistych i stawia sobie za cel matematyzację pionową, czyli budowanie pojęć i twierdzeń szkolnej matematyki na kolejnych piętrach abstrakcji. Koncepcja ta wytycza drogę od sytuacji realistycznych do formalnej, symbolicznej matematyki.”
Teoria nauczania realistycznego, stworzona przez holenderskich dydaktyków pod kierunkiem H. Freudenthala, wyznacza 5 głównych dla niej zasad. Zasada 2, wg której „Rozwój matematycznych pojęć przebiega od konkretu do abstrakcji. Proces poznania matematycznego jest długim procesem, podczas którego uczeń rozpoznaje własności przedmiotów i związki między przedmiotami otaczającego świata. W procesie tym wielką rolę odgrywają doświadczenia z modelami i schematami, które prowadzą do ujęcia symbolicznego.” , stanowi punkt wyjścia i podstawę czynnościowej strategii nauczania.
Z. Krygowska w swojej definicji mówi, że „czynnościowe nauczanie matematyki jest postępowaniem dydaktycznym uwzględniającym stale i konsekwentnie operatywny charakter matematyki równolegle z psychologicznym procesem interioryzacji prowadzącym od czynności konkretnych i wyobrażeniowych do operacji abstrakcyjnych”.
Nauczanie czynnościowe nie jest więc metodą dydaktyczną, lecz dotyczy postępowania nauczyciela, które przekłada się na zadania wykonywane przez uczniów. Jest ono syntezą różnych metod, rozbudowaną koncepcją o szerokim charakterze. Stanowi podstawę nauczania matematyki.
Strategia czynnościowego nauczania wyznacza 2 zasady, których należy przestrzegać podczas wprowadzania nowego pojęcia:
1. „Dokonać analizy operacji tkwiących w danym pojęciu, twierdzeniu, rozumowaniu i uwzględnić je potem w procesie nauczania – uczenia się.
2. Zorganizować sytuacje problemowe stwarzające okazję do czynności konkretnych, następnie wyobrażeniowych i w końcu abstrakcyjnych.”
Pierwsza zasada ma charakter matematyczny. Można stwierdzić, iż stanowi ona merytoryczne podstawy koncepcji nauczania czynnościowego i wynika z operatywnego charakteru matematyki. Pojęcia matematyczne mają specyficzny charakter, są abstrakcyjne i powstają w efekcie różnych operacji, jakie należy wykonać.
Operatywny charakter matematyki oznacza, że opanowanie każdego pojęcia matematycznego można rozłożyć na ciąg czynności i operacji, które uczeń musi wykonać samodzielnie pod kierunkiem nauczyciela, w celu zrozumienia pojęcia.
Rozumowanie matematyczne, twierdzenia i pojęcia, ale także język matematyczny, mają charakter operatywny. Powiązane są ściśle z aktywnością człowieka i wymagają wykonania różnego rodzaju czynności, najpierw prostych, podstawowych, a na wyższych etapach coraz bardziej złożonych i skomplikowanych kombinacji tychże czynności podstawowych.
Kształtowanie pojęć matematycznych powinno zachodzić na drodze abstrakcji odczynnościowej, a nie odprzedmiotowej, jak to jest w wypadku pojęć pozamatematycznych. Ważny jest więc rodzaj czynności i działania, jakie wykonują uczniowie. Operacje należy wykonywać na przedmiotach znanych i bliskich dziecku, jednakże z pominięciem ich cech jakościowych, a zwróceniem uwagi na cechy ludzkiego działania, które jest wykonywane na tych przedmiotach.
Myślenie matematyczne ma szczególny charakter, ponieważ jest „dynamicznym systemem – ostrzej niż w innych dziedzinach – sprecyzowanych w świadomości operacji”.
Druga zasada odnosi się do psychologicznych podstaw strategii, opierając się na teorii J. Piageta. Poziom rozwoju dziecka warunkuje kolejne pojawianie się różnych rodzajów czynności, od czynności fizycznych, konkretnych na materialnych przedmiotach, przez czynności wyobrażeniowe, którym towarzyszą zazwyczaj czynności werbalne, do czynności umysłowych, formalnych, abstrakcyjnych, przebiegających tylko w wyniku logicznego myślenia.
Czynności konkretne są punktem wyjścia dla rozwoju myślenia. Powtarzanie tych konkretnych czynności prowadzi do tworzenia się pierwszych schematów postępowania. Te pierwotne czynności z upływem czasu przechodzą przez kolejne etapy asymilacji rzeczywistości do danego schematu i akomodacji schematu do rzeczywistości, stając się coraz bardziej złożonymi i tworząc coraz bardziej złożone schematy.
Następnym etapem jest pojawienie się czynności wyobrażeniowej, która jest powiązana bezpośrednio z sytuacją konkretną, lub z obrazową reprezentacją wymienionej sytuacji. Z czasem czynności wyobrażeniowe łączyć się mogą w systemy, a dziecko zaczyna uświadamiać sobie zachodzące między nimi stosunki.
Kolejnym etapem rozwoju jest przechodzenie do myślenia operacjami abstrakcyjnymi, które zachodzą niezależnie od wykonywanych działań na przedmiotach i wyglądu przedmiotów. Dotychczasowe schematy ujmowania rzeczywistości tworzą jednolity układ stosunków, dzięki czemu rzeczywistość ujmowana jest równocześnie z różnych punktów widzenia.
Kolejność i moment pojawiania się poszczególnych rodzajów czynności warunkuje proces interioryzacji.
„Interioryzacja – jedno z dwu, obok internalizacji, postaci szeroko rozumianego uwewnętrznienia, czyli przekształcenia się tego, co zewnętrzne, w to, co wewnętrzne.(...) Specyfikę interioryzacji jako szczególnej postaci uwewnętrznienia stanowi jego: rozwojowy charakter, uwewnętrzniany przedmiot, obszar uwewnętrznionego funkcjonowania, podstawa w postaci zasady ciągłości lub identyczności”.
Interioryzacja oznacza zatem uwewnętrznienie czynności, czyli przechodzenie od czynności konkretnych i wyobrażeniowych do operacji abstrakcyjnych, czyli formalnych. Aktywność matematyczno – logiczna świadczy o tym, że uczeń potrafi przeprowadzić operacje, czyli czynności umysłowe o charakterze odwracalnym, nie będące zależnymi od działania na konkretnych przedmiotach i od cech tych przedmiotów.
Z. Krygowska wyróżnia następujące cechy nauczania czynnościowego, które stanowią jego istotę.
1. Wiązanie treści matematycznych z wyraźnie formułowanymi schematami postępowania.
2. Wiązanie operacji z operacjami do nich odwrotnymi.
3. Wiązanie operacji z różnych dziedzin matematycznych w bardziej złożone schematy.
4. Uwzględnianie różnych ciągów operacji prowadzących do tego samego rezultatu.
5. Stawianie ucznia w sytuacjach konfliktowych.
6. Opis słowny operacji.
7. Algorytmizacja rozwiązania zadania z zastosowaniem różnych form zapisu.
8. Wiązanie czynności konkretnych z operacjami myślowymi, przy czym czynność konkretna może być źródłem procesu interioryzacji, może być wykonywana równolegle z operacjami myślowymi, może być weryfikowana w konkrecie efektywności pomyślanego ciągu operacji.
9. Posługiwanie się poznanymi operacjami i przyzwyczajenie do działania a nie biernej kontemplacji.
10. Zwrócenie uwagi, aby stworzona symbolika miała również charakter operatywny, aby wizualnie sugerowała operację.
Podstawę nauczania czynnościowego powinno stanowić kierowanie działaniem ucznia, zmierzającym od konkretu do abstrakcji o charakterze matematycznym. Właściwe kierowanie opierać się musi na „tworzeniu takich sytuacji dydaktycznych, w których manipulowanie i przekształcanie konkretnych przedmiotów i stosunków między nimi stanowi środek wyzwalania operacji logicznych oraz rozumowań niezbędnych przy rozwiązywaniu problemów matematycznych (analizowanie, porównywanie, porządkowanie, klasyfikowanie, uzasadnianie, wnioskowanie itp.), te zaś z kolei prowadzą do abstrakcyjnych definicji, twierdzeń, praw.”
Przechodzenia od czynności fizycznych do umysłowych, nazywany procesem interioryzacji, przebiega wg następujących etapów:
 Etap kształtowania się orientacyjnej postawy działania;
 Etap działań materialnych lub zmaterializowanych;
 Etap działań w mowie głośnej;
 Etap działań w mowie cichej;
 Etap działań czysto umysłowych.
Biorąc pod uwagę przebieg procesu interioryzacji, w badaniach prowadzonych pod kierunkiem M. Cackowskiej, ustalono, że nauczanie czynnościowe matematyki w klasach początkowych powinno przebiegać wg następujących etapów:
1. Czynności manipulacyjno – ruchowe wykonywane z wykorzystaniem rzeczywistych przedmiotów (przedmioty codziennego użytku, przybory szkolne, zabawki itp.).
2. Czynności manipulacyjno – ruchowe wykonywane z wykorzystaniem zastępników przedmiotów (w tej fazie rzeczywiste przedmioty zastępowane są środkami umownymi, np. owoc zastąpiony jest klockiem, samochód – patyczkiem itp.).
3. Czynności umowne wykonywane z wykorzystaniem środków graficznych (wykorzystuje się w tym etapie m.in. grafy, drzewka, schematy Venna, oś liczbową).
4. Czynności werbalne (głośne i ciche).
5. Czynności umysłowe wykonywane z wykorzystaniem symboli matematycznych.

Pierwszy etap dotyczy konkretnych czynności, manipulacji, które dają się obserwować z zewnątrz, dlatego nauczyciel może łatwo ingerować w tę fazę, kiedy zauważy błąd, czy niepoprawne wykonanie. Uczeń działa (dosuwa, odkłada) na konkretnym materiale, jakim są przedmioty rzeczywiste. Są one wykorzystane przy wprowadzaniu pojęć matematycznych, ale też zgodnie ze swoim przeznaczeniem, co ukazuje dzieciom związek matematyki z życiem codziennym.
Ich najistotniejszą rolą jest:
 ścisłe powiązanie wiedzy matematycznej z życiem i doświadczeniami dziecka;
 wywołanie zainteresowania i ciekawości, będących podstawą kształtowania motywacji do uczenia się.
Etap ten, obok ćwiczeń dotyczących przesuwania, łączenia, dzielenia itp., może obejmować różne gry ruchowe grupy uczniów lub całej klasy oraz zabawy, w których odtwarzane są sytuacje znane dzieciom z doświadczenia (np. sklep, poczta, szkoła, dworzec itp.)
W drugim etapie nie zmienia się rodzaj czynności ale zmianie ulegają środki. Przedmioty rzeczywiste zastępowane są umownymi, zmienia się rodzaj materiału użytego do wykonania czynności. Dziecko dostrzega dzięki temu, że nie są ważne cechy przedmiotów, ale czynności. Jest to istotne dla prawidłowego kształtowania pojęć matematycznych, ponieważ etap ten charakteryzuje się całkowitym pominięciem cech fizycznych przedmiotów lub zdarzeń. Pomocne w tych działaniach staje się wykorzystywanie tzw. Materiałów strukturalnych (klocków Dienesa, klocków Cuisenaire’a, minikomputera Pappy’ego, geoplanu, tablic planszowych itp.).
W dwóch pierwszych etapach dominują metody praktyczne lub oglądowe, w zależności od rodzaju pojęcia, mocno wspierane metodami słownymi.
Trzeci etap przynosi zmianę zarówno czynności, jak i środków. Nie występują już czynności manipulacyjne, zamiast których pojawiają się czynności umowne, a materiał konkretny zamieniany jest na środki graficzne. Dominują tu, podobnie jak w poprzednich etapach metody praktyczne lub oglądowe z dużą pomocą metod słownych.
„Schemat jest bowiem przedmiotem konkretnym, rysunkiem lub obrazową konfiguracją symboli, ale również przedmiotem zastępczym, reprezentantem czegoś, co jest od niego różne. Wykonując operacje na schemacie uczeń myśli już abstrakcyjnie, bo ma świadomość umownego charakteru schematu i wykonywanych obserwacji. Za pomocą odpowiednio dobranych schematów można dziecku przekazać bardzo rozwiniętą i abstrakcyjną w sposób liczący się z poziomem jego rozwoju i posługując się przy tym językiem obrazowym, bezpośrednio dlań zrozumiałym”.
Schemat graficzny pozwala przenieść czynności uczniów z poziomu manipulacji realnych na poziom działań wyobrażeniowych. Wykorzystywane są w tym celu: schematy Venna, grafy liczbowe, drzewka, oś liczbową, tabelki itp. W celu obrazowej prezentacji struktury problemu, który należy rozwiązać.
W etapie czwartym pojawiają się czynności w mowie głośnej i cichej. W mowie głośnej mogą one dotyczyć zarówno czynności, które się odbyły, jak i tych, które mają się odbyć. Uczeń nie odpowiada liczbami, lecz opisuje zaistniałą sytuację. W mowie cichej natomiast, przebiegają wtedy, kiedy dziecko mówi do siebie (dyktuje sobie) podczas wykonywania czynności. Czynności w mowie cichej są normalnym etapem w procesie interioryzacji. W tym etapie dominują metody słowne, a praktyczne mogą być metodami pomocniczymi.
Prawidłowa organizacja czynności werbalnych wymaga spełnienia następujących warunków:
 opisy i reguły słowne nie rozpoczynają procesu zapoznawania uczniów z nowymi treściami, ale stanowią jeden z końcowych jego etapów;
 nie są one narzucane przez nauczyciela lub podręcznik, ale stanowią wynik samodzielnej pracy uczniów;
 uogólnienia słowne przybierają formę „czynnościową” – opisu wykonanych wcześniej czynności, a nie statycznego rejestrowania faktów i związków.
Ostatni etap dotyczy takich czynności, które są zapisane znakami i symbolami matematycznymi. Problem matematyczny rozwiązywany jest poprzez zapisanie działania. W tym etapie dominują metody praktyczne, a słowne mają jedynie charakter pomocniczy. Wprowadzane zostają w tym etapie symbole i wzory stanowiące sformalizowany zapis uogólnień, które zostały wcześniej przez uczniów wykryte. U uczniów, poprzez wykonywanie licznych ćwiczeń rachunkowych, kształtują się odpowiednie umiejętności i nawyki.
Sprawne i biegłe posługiwanie się pojęciami matematycznymi w sytuacjach tego wymagających, jest nadrzędnym celem, do którego dąży nauczanie matematyki.
Wg badań prowadzonych w latach 1969-1970 przez B. Galdię na temat wpływu metody czynnościowej na rozwój umiejętności definiowania pojęć uczniów kl. I i II, stwierdzono istotne różnice między uczniami z klas eksperymentalnych, gdzie stosowano metodę czynnościową, a uczniami klas standardowych. Uczniowie klas eksperymentalnych podali znacznie większą ilość definicji pojęć, poprawnych pod względem logicznym.
Strategia czynnościowego nauczania matematyki wskazuje, jak prawidłowo nauczać matematyki, czyli jak kształtować pojęcia matematyczne na drodze abstrakcji odczynnościowej. Wynika z tego, że sposób nauczania czynnościowego jest podstawą kształcenia matematycznego, a co za tym idzie, jeśli celem oddziaływań ma być skuteczne nauczanie matematyki, należy dostarczać uczniom wiele okazji do działania.

wykorzystana literatura:
1. Siwek H.: Kształcenie zintegrowane na etapie wczesnoszkolnym. Kraków 2004, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej
2. Krygowska Z.: Zarys dydaktyki matematyki cz.1. Warszawa 1979, WSiP
3. Siuta J.: red. Słownik psychologiczny. Kraków 2005, Wydawnictwo „Zielona Sowa”
4. Bartmiński F.: Nauczanie czynnościowe. Zarys metodyki nauczania początkowego matematyki. w: Nauczanie początkowe 1983/4 nr 6
5. Moroz H.: Z doświadczeń nad modernizacją nauczania początkowego matematyki. Warszawa 1978
6.