Zajmująca stereometria - kształtuj swoją wyobraźnię przestrzenną przez rozwiązywanie zadań

Zajmująca stereometria –
Rozwiąż i kształtuj swoją wyobraźnię przestrzenną.

Zadanie 1. Planeta Cukierek, mająca kształt sześcianu o krawędzi 1 km została spowita mgłą w taki sposób, że łakomi kosmici nie mogą zbliżyć się do niej na odległość mniejszą niż 500 m, gdyż ich statek kosmiczny nie może poruszać się we mgle. Jaka co najmniej objętość mgły otacza planetę?

Zadanie 2.
Ile co najwyżej boków może mieć wielokąt będący przekrojem ośmiościanu foremnego ?

Zadanie 3. Wielościan wypukły ma 26 ścian: 12 z nich to kwadraty, 8 to sześciokąty foremne i 6 ma kształt ośmiokątów foremnych. Każdy wierzchołek wielościanu należy do dokładnie trzech ścian: jednej kwadratowej, jednej sześciokątnej i jednej ośmiokątnej. Ile jest odcinków łączących dwa wierzchołki wielościanu i nie zawartych w żadnej ze ścian ?

Zadanie 4. Wykaż, że nie można otrzymać sześcianu składając ze sobą czworościany foremne o tej samej krawędzi.

Zadanie 5. Dla czterech punktów niewspółpłaszczyznowych, płaszczyzną typu ρ będziemy nazywać taką płaszczyznę, że odległość każdego z tych punktów od niej jest taka sama. Ile jest płaszczyzn typu ρ dla danych czterech punktów nie leżących na jednej płaszczyźnie?

Zadanie 6. Dwie sfery o promieniu r są styczne zewnętrznie. Trzy sfery o promieniu R są styczne zewnętrznie między sobą, to znaczy każda jest styczna do dwóch pozostałych. Każda z nich jest ponadto styczna zewnętrznie do dwóch pierwszych sfer. Znajdź stosunek .

Zadanie 7. Dany jest sześcian o krawędzi 1. Rysując wszystkie krawędzie i przekątne każdej ze ścian otrzymujemy sieć z 14 punktami węzłowymi (8 wierzchołków sześcianu i 6 środków jego ścian). Ile wynosi długość najkrótszej drogi zawartej w tej sieci i łączącej wszystkie punkty węzłowe ?