Zadania z podzielności liczb całkowitych

Zadanie 1. Rozważamy wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich m, n, spełniających równość 15m = 20n. Znajdź największą liczbę całkowitą q, która dzieli każdy z iloczynów mn.

Zadanie 2. Ile liczb naturalnych czterocyfrowych kończących się na 36 jest podzielnych przez 36?

Zadanie 3. Ile liczb czterocyfrowych, których cyfry należą do zbioru {1, 2, 3, 4} jest podzielnych przez 4?

Zadanie 4. Znajdź najmniejszą z liczb zbioru A = {2024, 20242024, 202420242024, 2024202420242024, ...} podzielną przez 414.

Zadanie 5. Długości boków prostokątnego ogrodu o obwodzie 100 metrów wyrażają się liczbami całkowitymi. Do dwóch sąsiednich boków ogrodu przylegają na całej ich długości dwie kwadratowe działki. Wykaż, że różnica pól powierzchni tych działek wyrażona w metrach kwadratowych jest podzielna przez 100.

Zadanie 6. Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej k, istnieje liczba całkowita dodatnia m taka, że jej początkowe cyfry to 31415926 i podzielna przez k.

Zadanie 7. Ile jest liczb czterocyfrowych o cyfrach różnych od zera i podzielnych przez 9?

Zadanie 8. Adam wziął 1000 kartek i wypisał na nich liczby 1, 2, 3, ..., 1000. Następnie kartki rozmieścił w k pudełkach tak, aby żadna z liczb nie była wielokrotnością innej liczby z tego samego pudełka. Wyznacz minimalną wartość k.

Zadanie 9. A jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych siedmiocyfrowych o różnych cyfrach należących do zbioru { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Wykaż, że w zbiorze A nie istnieją dwie liczby, z których jedna jest wielokrotnością drugiej.

Zadanie 10. Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 96, ich największy wspólny dzielnik jest równy 12. Co to za liczby?