Trudne zadania o prostych grach

Zadanie 1. Andrzej zaproponował Bolkowi następującą grę: Potasuj talię kart i wybieraj je losowo parami. Jeśli obie są czarne, zatrzymaj je. Jeśli obie są czerwone, daj je mnie, a jeśliby jedna była czarna i jedna czerwona, odłóż je na bok. Przed rozpoczęciem gry zapłać mi 2 zł, zaś na końcu, po wyczerpaniu talii, ja ci zapłacę 10 zł, o ile tylko zbierzesz więcej kart ode mnie. Czy Bolek powinien przyjąć propozycję Andrzeja ? Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 2. Dwaj gracze na przemian wykonują ruchy na kwadratowej tablicy . Ruch polega na wpisaniu jednej z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 na wybranym polu, przy czym nie można wpisywać dwukrotnie tej samej liczby. Pierwszy gracz wygrywa, jeśli na końcu gry suma liczb w jednym z wierszy lub w jednej z kolumn wynosi 14. W przeciwnym razie wygrywa gracz drugi. Wskaż zwycięską strategię pierwszego gracza.

Zadanie 3. W turnieju szachowym wzięło udział pięciu zawodników. Każdy z nich grał z każdym dokładnie jeden raz, przy czym za zwycięstwo przyznawano 1 punkt, za remis 0,5 punktu, a za porażkę 0 punktów. Wiadomo, że zwycięzca turnieju nie odniósł żadnego remisu, zawodnik, który zajął drugie miejsce nie przegrał ani jednej partii i że po zakończeniu turnieju każdy szachista miał inną ilość punktów. Czy na podstawie tych danych można jednoznacznie odtworzyć końcową punktację ?

Zadnie 4. Józek, Piotrek, Grzesiek i Paweł rozgrywają między sobą turniej szachowy. Każdy z czterech kolegów rozgrywa dokładnie jedną partię z każdym z trzech pozostałych. Za zwycięstwo przyznaje się 3 punkty, za remis 1 punkt, a za porażkę 0 punktów. O kolejności miejsc decyduje liczba zdobytych punktów, a w przypadku równej ilości punktów przeprowadza się losowanie. Grzesiek zajął trzecie miejsce. Ile co najwyżej punktów mógł zdobyć?

Zadanie 5. Na pochylni znajduje się n ponumerowanych kulek, o numerach od 1 do n, ustawionych w dowolnym porządku. Dane jest urządzenie, które może podnieść jedną lub dwie kolejne kulki i położyć je u góry bez zmiany ich kolejności, podczas gdy pozostałe kulki staczają się w dół.
a) Pokaż, że jeśli i początkowa kolejność jest: 7 − 4 − 1 − 3 − 6 − 5 − 2 − 8, to można ustawić kulki w porządku rosnącym od dołu ku górze w pięciu posunięciach.
b) Pokaż, że jeśli i początkowa kolejność jest: 6 − 1 − 10 − 4 − 9 − 3 − 5 − 8 − 2 − 7, to można ustawić kulki w porządku rosnącym od dołu ku górze w sześciu posunięciach.

Zadanie 6. Cztery kule czarne i pięć kul białych umieszczono w dowolnej kolejności na okręgu. Jeśli dwie kolejne kule są tego samego koloru, umieszczamy między nimi nową kulę czarną. W przeciwnym razie, między kulami umieszczamy nową kulę białą. Następnie usuwamy poprzednie kule białe i czarne, które były na okręgu przed umieszczeniem nowych kul. Czy postępując w ten sposób odpowiednią ilość razy, możemy w końcu otrzymać dziewięć kul białych ?

Zadanie 7. Andrzej i Bolek grają w następującą grę: dany jest stos zawierający 2010 kamieni. Andrzej, który rozpoczyna grę, wybiera pewien dzielnik liczby 2010 i odrzuca ze stosu tyleż kamieni. Następnie Bolek wybiera liczbę będącą dzielnikiem liczby pozostałych kamieni i odrzuca ze stosu tyle właśnie kamieni. Postępują w ten sposób kolejno, aż do zebrania wszystkich kamieni. Przegrywa ten gracz, który zbierze ostatni kamień. Wykaż, że jeden z zawodników ma od początku, niezależnie od posunięć przeciwnika, zagwarantowane zwycięstwo, o ile zastosuje odpowiednią strategię. Opisz tę strategię. Jaka powinna być początkowa liczba kamieni, aby zwycięską strategię mógł mieć drugi z zawodników ?

Zadanie 8. W punkcie P znajduje się pchła i zaczyna skakać tak, że pierwszy skok ma długość 1 i każdy następny jest dwukrotnie dłuższy od poprzedniego.
a) Pchła znajduje się na prostej i dowolnie wybiera kierunek kolejnych skoków. Czy może je wykonywać tak, aby ponownie znaleźć się w punkcie P ?
b) P jest jednym z punktów przecięcia siatki kwadratowej o boku 1, a pchła może każdy skok wykonać w czterech możliwych kierunkach (w górę, w dół, w prawo, w lewo). Czy po pewnej ilości wykonanych w odpowiednich kierunkach skokach pchła może wrócić do punktu P ?

Zadanie 9. Na okręgu danych jest 20 punktów, które dzielą go na przystające łuki. Po tych punktach skacze krasnoludek w ustalonym kierunku i w kolejnych skokach znajduje się w punkcie, w którym do tej pory nie był. Po pierwszym skoku wpisuje liczbę 1 w punkcie, do którego przybył, po drugim skoku wpisuje liczbę 2 w punkcie, w którym się znalazł, i tak dalej, aż w końcu wpisuje liczbę 20 w kolejnym z punktów. Długość każdego skoku jest taka sama. Liczba 11 znalazła się na okręgu bezpośrednio przed liczbą 4. Jaka liczba jest bezpośrednio za liczbą 4 ?