Geometria płaska - pomyśl i rozwiąż. Zadania tekstowe

Geometria płaska – pomyśl i rozwiąż.

Zadanie 1. W trójkącie ABC środkowa BM jest prostopadła do dwusiecznej kąta przy wierzchołku A. Ponadto wiadomo, że długości boków trójkąta wyrażają się kolejnymi liczbami całkowitymi. Znaleźć długości boków tego trójkąta.
Zadanie 2. Ile istnieje nieprzystających trójkątów o bokach, których długości wyrażają się liczbami całkowitymi i obwodzie równym 16 ?
Zadanie 3. Dany jest trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku B. Niech H będzie spodkiem wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka B. Prosta równoległa do boku AB i przechodząca przez C przecina prostą BH w punkcie D. Prosta równoległa do BC i przechodząca przez D przecina AC w punkcie E. Wykaż, że proste AD i BE są prostopadłe.

Zadanie 4. Ile jest nieprzystających trójkątów prostokątnych o bokach, których długości wyrażają się liczbami całkowitymi, i których pole jest liczbowo równe obwodowi ?

Zadanie 5. Długości wysokości pewnego trójkąta wynoszą 12, 15 i 20. Znajdź miarę największego kąta wewnętrznego tego trójkąta.

Zadanie 6. Na płaszczyźnie danych jest 7 różnych punktów. Każde dwa z tych punktów łączymy odcinkami.
a) Wykaż, że co najmniej 3 z tych odcinków są różnej długości.
b) Czy muszą wystąpić 4 różne długości ?

Zadanie 7. Prosta równoległa do jednego z boków trójkąta dzieli go na dwa wielokąty o równych polach. W jakim stosunku prosta ta dzieli pozostałe boki trójkąta?

Zadanie 8. Prostokąt o bokach długości 423 i 756 podzielono na kwadraty o boku 1. Przez ile takich kwadratów przechodzi przekątna prostokąta ? Nie uwzględniaj tych kwadratów, których jedynym punktem wspólnym z przekątną jest wierzchołek.

Zadanie 9.
Każdy wierzchołek czworokąta wypukłego ABCD łączymy dwoma odcinkami ze środkami dwóch boków, do których ten wierzchołek nie należy. W ten sposób rysujemy 8 odcinków. Załóżmy, że 7 z nich ma tę samą długość a. Wykaż, że długość pozostałego ósmego odcinka również wynosi a.

Zadanie 10. Łącząc trzy wierzchołki dwudziestokąta foremnego otrzymujemy trójkąt. Ile można w ten sposób otrzymać nieprzystających trójkątów prostokątnych ? Czy można uzyskać trójkąt prostokątny łącząc trzy wierzchołki wielokąta foremnego o nieparzystej liczbie wierzchołków (np. siedemnastokąta foremnego) ?

Zadanie 11. Rafał narysował 650 punktów w kole o promieniu 16 cm. Wykaż, że istnieje pierścień kołowy o promieniu wewnętrznym 2 cm i promieniu zewnętrznym 3 cm, do którego należy co najmniej 10 spośród tych punktów.